POJ2406 power strings——哈希/KMP

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题目大意：
给定若干个长度 ≤ 106 10 6 的字符串，询问每个字符串最多是由多少个相同的子字符串重复连接而成的。如： ababab a b a b a b 则最多有 3 3 个 ab a b 连接而成。

样例输入：
abcd
aaaa
ababab
. //当读入为.时结束程序
样例输出
1
4
3

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这道题是一道有趣的题，有两种思路，第一种是哈希。
我们考虑哈希的过程，就以 ababab a b a b a b 为例，则整个串的哈希值为（我的乘数是233）
233∗(233∗(233∗(233∗(233∗a+b)+a)+b)+a)+b 233 ∗ ( 233 ∗ ( 233 ∗ ( 233 ∗ ( 233 ∗ a + b ) + a ) + b ) + a ) + b
这是最基础的哈希过程，我们把它拆开，就成了下式：
(a∗2335+b∗2334)+(a∗2333+b∗2332)+(a∗233+b) ( a ∗ 233 5 + b ∗ 233 4 ) + ( a ∗ 233 3 + b ∗ 233 2 ) + ( a ∗ 233 + b )
我们考虑 ab a b 的哈希值，为 a∗233+b a ∗ 233 + b ，设 ab a b 的哈希值为 x x ，则整个串的哈希值为 x∗2334+x∗2332+x∗2330 x ∗ 233 4 + x ∗ 233 2 + x ∗ 233 0
其实就是 x x 乘以一个等比数列，而这个数列为 1,233l,2332l……233L−l 1 , 233 l , 233 2 l … … 233 L − l 其中 l l 为我们要求的字串的长度， L L 为大串的长度，根据等比数列公式，这个数列的和是 1−pL1−pl 1 − p L 1 − p l ,所以枚举 l l ，并求出当前串的哈希值，如果其乘以左边的数等于大串的哈希值，那么我们要找的就是这个字串。（由于 pl p l 会很大，所以这道题要使用乘法逆元）

#include
#include
#include
#include
#define MD 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
char s[1000005];
ll l,a,b,lst,bin[1000005];
ll pows(ll a,ll b){
    ll base=1;
    while(b){
        if(b&1) base=base*a%MD;
        a=a*a%MD;b/=2;
    }
    return base;
}
int main()
{
    bin[0]=1;
    for(ll i=1;i<=1000000;i++) bin[i]=bin[i-1]*233%MD;
    while(~scanf("%s",s+1)){
        if(s[1]=='.') break;
        l=strlen(s+1);lst=0;a=0;b=0;
        for(ll i=1;i<=l;i++) a=(a*233+s[i])%MD;
        for(ll i=l;i>=1;i--){
            if(l%i) continue;
            for(ll j=lst+1;j<=l/i;j++) b=(b*233+s[j])%MD;lst=(l/i);
            ll x=b;x=x*(bin[l]-1+MD)%MD;
            x=x*pows(bin[l/i]-1,MD-2)%MD;
            if(x==a){
                printf("%d\n",i);break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

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第二种方法十分巧妙，运用的是KMP算法。首先我们求出这个字符串的 next n e x t 。我们考虑 next n e x t 的性质，如果一个长为 L L 字符串被一个小字符串分成 m m 条，那么它的 next n e x t 是多少？ L∗m−1m L ∗ m − 1 m ,我们因为 next n e x t 是它最长的不等于自己的相同的前缀和后缀。因为不等于自己，又要最长，所以只能乘以 m−1m m − 1 m ，所以如果真的能被分成 m m 条，那么 L−nxt[L] L − n x t [ L ] 整除 L L ，并且答案就是 LL−nxt[L] L L − n x t [ L ]

#include
#include
#include
using namespace std;
char s[1000005];
int nxt[1000005],l;
void getnext(){
    int k=-1,j=0;
    nxt[0]=-1;
    while(jif(k==-1||s[k]==s[j]){
            k++;j++;
            nxt[j]=k;
        }
        else k=nxt[k];
    }
}
int main()
{
    while(~scanf("%s",s)){
        if(s[0]=='.') break;
        l=strlen(s);
        getnext();
        printf("%d\n",l%(l-nxt[l])?1:l/(l-nxt[l]));
    }
    return 0;
}