[运算放大器]佛朗哥笔记 - 有源滤波器I - 基础

传递函数

复阻抗：

式中： 

是复频率以复奈培/秒（复Np/s）计

是奈培频率以奈培/秒（Np/s）计

是角频率以弧度/秒（rad/s）计

电路的特性行为唯一地由它的传递函数H(s)来表征

 

s的有理函数：

 

分母的阶决定滤波器的阶。方程N(s)=0和D(s)=0的根分别称为H(s)的零点和极点，并用z₁，z₂，…，z_m和p₁，p₂，…，p_n表示。

 

RLC震荡电路分析

 

利用一般电压分压器公式得

整理后得

 

因式分解后可得有一个零点在原点，一对共轭极点在左半平面

 

H(s)和稳定性

注入能量，观察响应，注入能量的一种方便的方法是加入一个冲激输入，它的拉普拉斯变换是1。可得响应或冲激响应是：

 

响应由极点决定：

1.H(s)有一个极点在s=_k±j0=_k。利用拉普拉斯变换，可以证明H(s)含有这一项A_k/(s-_k)，A_k称为H(s)在那个极点的留数，并求得为A_k/(s-_k)H(s)|s=_k。

 

u(t)是单位阶跃函数。一个实数极点对响应xo(t)贡献出一个指数分量。<0，这个分量衰减，若>0，发散，若=0，保持不变。

2.H(s)有一对负数极点在s=_k±j_k。这种情况下，H(s)包含复数项A_k/[s-(_k + j_k)]以及它的共轭项，而求得的留数是A_k/[s-(_k + j_k)]H(s)|s=_k + j_k。它们组合的拉普拉斯及变换是

 

如果<0，这一分量代表一个衰减的正弦；若=0，则代表一个恒定振幅的正弦；>0，为一幅度增长的正弦。

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求解RLC电路的冲激响应（L=5mH，C=40μF，R=10Ω）

解：代入元件值到H(s)可得

利用复数分解可得2个极点s=-1000+j2000

A₁=[s-(-1+j2)10³]H(s)|s=(-1+j2)10³=1000+j500=500。所以，

H(s)和频率响应

在滤波器的研究中，关心如下交流输入：

 

一般来说，输出的完全响应由两个分量组成，一个在函数形式上类似于自然响应的暂态分量，而另一个则是与输入有同一频率但有不同振幅和相角的稳态分量。如果极点都位于LHP，那么暂态分量将最终消失，而仅有稳态分量。

 

求解RLC电路对如下信号的稳态响应

 

令s=j103rad/s，得到

 

所以