剑指 Offer 49. 丑数 - leetcode 剑指offer系列

题目难度: 中等

原题链接

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题目描述

我们把只包含质因子 2、3 和 5 的数称作丑数（Ugly Number）。求按从小到大的顺序的第 n 个丑数。

• 1 是丑数。
• n 不超过 1690。

题目样例

示例

• 输入: n = 10
• 输出: 12
• 解释: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数。

题目思考

1. 如何从当前的丑数得到后面的丑数?
2. 如何保证从小到大?

解决方案

方案 1

思路

• 一个比较容易想到的思路是使用一个小顶堆, 每次从堆顶 pop 出当前最小的丑数, 然后乘以 2/3/5 得到新丑数, 如果新丑数没有在堆中的话, 就将其加入堆中
• 这样 pop n 次即为第 n 个丑数
• 判断新丑数是否存在, 可以额外使用一个集合, 这样判断存在性就只需要 O(1)
• 显然初始化堆和集合中的元素都是 1, 代表第 1 个丑数
• 以上的操作是不是很类似 BFS 的思路? 不同的是这里利用了堆而不是双端队列/列表来处理当前的元素, 所以举一反三很重要

复杂度

• 时间复杂度 O(NlogN): 共需要 N 次堆操作, 每次堆操作的时间复杂度是 logN
• 空间复杂度 O(N): 使用了一个小顶堆和一个集合

代码

class Solution:
    def nthUglyNumber(self, n: int) -> int:
        # 初始化集合和堆中元素都为1
        v = {1}
        q = [1]
        for i in range(n):
            res = heapq.heappop(q)
            for factor in (2, 3, 5):
                nex = res * factor
                if nex not in v:
                    # 新丑数没在堆里的话, 将其加入堆中
                    v.add(nex)
                    heapq.heappush(q, nex)
        return res

方案 2

思路

• 回顾方案 1, 因为引入了堆, 所以时间复杂度达到了 O(NlogN), 那有没有更优的方案呢, 比如 O(N) 时间复杂度?
• 答案也是有的, 我们重新分析题目, 要求数字的质因子只有 2/3/5, 我们就可以把当前丑数乘以 2/3/5 的数字分别存入三个数组中, 并将 1 作为第 1 个值, 这样就可以将题目转换成将三个有序数组进行合并去重后求第 n 个最小值
  • arr2 = [1*2, 2*2, 3*2, 4*2, 5*2, 6*2, 8*2, ...] (注意7不是丑数)
  • arr3 和 arr5 类似, 只是把乘数改成了 3 和 5
• 为什么需要去重呢? 举个例子, 对于 6, 它既存在于 arr2 中, 也存在于 arr3 中
• 如何合并去重呢? 我们可以维护 3 个指针, 分别对应这三个数组遍历到的元素位置, 那么当前最小值自然就是 3 个元素中最小的那个了, 然后将最小元素对应的指针后移(可能会遇到最小值不止一个, 这个时候移动的指针也不止一个), 继续判断即可
• 需要保存哪些数组呢? 注意 arr2/arr3/arr5 有个共同特点是作为因子的丑数序列是相同的, 都是[1,2,3,4,5,6,8,...], 只是需要乘的质因子不同. 所以我们并没有必要真正保存 3 个数组, 而只需要保存升序丑数序列即可, 这样恰好该序列的第 n 个数就是最终结果. 而 arr2/arr3/arr5 只需要在该丑数序列基础上乘以 2/3/5 即可得到, 然后三个数组的指针移动还和上面的分析一样
• 下面的代码对必要步骤有详细的注释, 方便大家理解

复杂度

• 时间复杂度 O(N): 只需要遍历一遍
• 空间复杂度 O(N): 额外使用了一个数组存升序丑数序列

代码

class Solution:
    def nthUglyNumber(self, n: int) -> int:
        # 初始化丑数序列第一个元素为1
        ugly = [1]
        # 初始化arr2/arr3/arr5的下标都为0
        i2, i3, i5 = 0, 0, 0
        while len(ugly) < n:
            # 取arr2/arr3/arr5三者中的最小值追加到当前升序丑数序列中
            # 根据下面三个if判断的逻辑, 新追加的值一定大于之前丑数序列的最大值(最后一个值), 因为之前的最大值若等同于arr2/arr3/arr5的下标对应的值的话, 会将下标+1的, 新下标的值一定大于原下标的
            ugly.append(min(
                2 * ugly[i2],
                3 * ugly[i3],
                5 * ugly[i5],
            ))
            if ugly[-1] == 2 * ugly[i2]:
                # 最小值和arr2下标的值*2一样, i2加1
                i2 += 1
            if ugly[-1] == 3 * ugly[i3]:
                # 同上
                i3 += 1
            if ugly[-1] == 5 * ugly[i5]:
                # 同上
                i5 += 1
        return ugly[-1]

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