luogu P2155 [SDOI2008]沙拉公主的困惑

背景：

写一下最近做的题目。

题目传送门：

https://www.luogu.org/problem/P2155

题意：

求$[1,n!]$内与$m!$互质的数的个数。

思路：

这个转化还是比较妙的。

考虑$[1,m!]$内与$m!$互质的数的个数，显然答案为$\varphi (m!)$。

考虑$(m!,n!]$内与$m!$互质的数的个数。
考虑更相减损术：$\gcd (a,b)=\gcd (a+b,b)$，因此想到$\gcd (a,m!)=\gcd (a+m!,m!)=1$，因此相当于将$\varphi (m!)$翻$\frac{n!}{m!}$倍。

综上$ans=\frac{n!}{m!}\varphi (m!)$。
怎么求呢。
$$\frac{n!}{m!}\varphi (m!)$$

$$=\frac{n!}{m!}m!\prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$$

$$=n!\prod _{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i}$$

这个又怎么做呢？
$n!$直接预处理即可。
设$f_n={\prod }_{i=1}^k\frac{p-1}{p}$
后面的考虑我们已经求出了$f_a$，那么$f_{a\ast prime}=f_a\ast \frac{prime-1}{prime}$，由于我们可以预处理逆元，因此可以$\Theta (1)$转移。
因为$p_i$的指数必须为$1$，因此我们可以从小到大来做。

实测$n<r$，不然对于没有逆元$n=kr,k\in N_{+}$的，直接做会有问题，详细处理方法可以见题解。

代码：

#include
#include
#include
#define LL long long
#define R register
using namespace std;
	int n,m,mod;
	int prime[1000010],fac[10000010],f[10000010],inv[10000010];
	bool bz[10000010];
void init(int ma)
{
	int t=0;
	bz[0]=bz[1]=true;
	for(R int i=2;i<=ma;i++)
	{
		if(!bz[i]) prime[++t]=i;
		for(R int j=1;j<=t&&i*prime[j]<=ma;j++)
		{
			bz[i*prime[j]]=true;
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}
	fac[0]=1;
	for(R int i=1;i<=ma;i++)
		fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(R int i=2;i<=min(ma,mod-1);i++)
		inv[i]=((LL)mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	f[1]=1;
	for(R int i=2;i<=ma;i++)
	{
		f[i]=f[i-1];
		if(!bz[i]) f[i]=(LL)f[i]*inv[i]%mod*(i-1)%mod;
	}
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d %d",&T,&mod);
	init(10000000);
	while(T--)
	{
		scanf("%d %d",&n,&m);
		printf("%d\n",(LL)fac[n]*f[m]%mod);
	}
}