一些同态加密算法

RSA

1、产生公钥和私钥
随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，令N=pq.
令$r=\phi (N)=\phi (p)\phi (q)=(p-1)(q-1)$
选择一个小于 $r$ 的整数 $e$（$gcd(e,r)=1$）
求得 $e$ 关于 $r$ 的模反元素 $d$（即$e\times d=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r$）
公钥：（N，e）
私钥：（N，d）
2、明文m加密为c
$$c=m^e\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N$$
3、密文c解密为m
$$m=c^d\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N$$

Paillier

1、产生公钥和私钥
随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，令n=pq.
令 $\lambda =lcm(p-1)(q-1)$
随机选择一个整数$g\in Z_{N^2}^{\ast }$（$gcd(L(g^{\lambda }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{N}^2),N)=1$）
其中，函数$L(u)=(u-1)/n$
公钥：（n，g)
私钥：（$\lambda$）
2、明文m加密为c
随机选取整数$r\in Z_n^{\ast }$
$$c=g^m\cdot r^n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}^2$$
3、密文c解密为m
$$m=\frac{L(c^{\lambda }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}^2)}{L(g^{\lambda }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}^2)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$$

fate_paillier：

1、明文m加密为c
$n=pq$
$g=n+1$，则$g^m=(n+1{)}^m\equiv (n\ast m+1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}^2$

apply_obfuscator():
随机选取整数$r\in Z_n^{\ast }$
$obfuscator=r^n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}^2$（in apply_obfuscator）

raw_encrypt():
$if:(n-\frac{n}{3}-1)\le m<n$
$then:x=invert((n\ast (n-m)+1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}^2,n^2)$
$else:x=(n\ast m+1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}^2$

$c=x\ast obfuscator\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}^2$

2、密文c解密为m（using Chinese-remaindering）
$$h\_func:h(x)=invert(l(g^{x-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^2,x),x)$$
$$l\_func:l(x,y)=\frac{x-1}{y}$$

$hp=h(p)=invert(l(g^{p-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^2,p),p)$
$hq=h(q)=invert(l(g^{q-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{q}^2,q),q)$
$mp=l(c^{p-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^2,p)\ast hp\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
$mq=l(c^{q-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{q}^2,q)\ast hq\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q$
$u=(mp-mq)\ast invert(q,p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
$m=(mq+u\ast q)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$

Affine

1、keygen
生成n，再生成a、inv_a、b
$gcd(a,n)=1$
（根据欧拉公式得，$a\ast inv\_a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=1$）

2、明文m加密为（c，k）（代码中k=1）
$c=(a\ast m+k\ast b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，recorded as pair (E(x), k), E(x) is ciphertext, k means the bias b’ coefficient is k.

3、密文（c，k）解密为m
$m=(inv\_a\ast (c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n-k\ast b))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$
$if:m/n>0.9$
$then:m=m-n$
$else:m=m$

IterativeAffine Homomorphic Encryption

1、keygen

Generate an key-tuple array, the element in the array is a tuple (a, inv_a, n), where (a, n) = 1, inv_a * a % n = 1. The array is sorted by n.

2、Encrypt
1E(x) = Enc_n o … o Enc_1(x), Enc_r(x) = a_r * x % n_r. a_r, n_r is the r-th element of key-tuple array.

3、Decrypt

Dec(E(x)) = Dec_1 o … o Dec_n(x), Dec_r(x) = (inv_a)_r * (a_r * x) % n_r = x % n_r