最短路径—Dijkstra算法

 

 

 

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图

 

3.算法代码实现：

 1 const int  MAXINT = 32767;
 2 const int MAXNUM = 10;
 3 int dist[MAXNUM];
 4 int prev[MAXNUM];
 5 
 6 int A[MAXUNM][MAXNUM];
 7 
 8 void Dijkstra(int v0)
 9 {
10   　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中
11       int n=MAXNUM;
12   　　for(int i=1; i<=n; ++i)
13  　　 {
14       　　dist[i] = A[v0][i];
15       　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点
16       　　if(dist[i] == MAXINT)    
17             　　prev[i] = -1;
18  　　     else 
19             　　prev[i] = v0;
20    　　}
21    　 dist[v0] = 0;
22    　 S[v0] = true; 　　
23  　　 for(int i=2; i<=n; i++)
24  　　 {
25        　　int mindist = MAXINT;
26        　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
27       　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
28       　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
29       　　    {
30          　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 
31          　 　      mindist = dist[j];
32        　　   }
33        　　S[u] = true; 
34        　　for(int j=1; j<=n; j++)
35        　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
36        　　    {
37            　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径  
38            　    　{
39                    　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist 
40                    　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点 
41             　　    }
42         　    　}
43    　　}
44 }

 

4.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

 

hdu-1874代码如下：

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1874

 1 #include 
 2 #include <string.h>
 3 #define MAXINT 2000010
 4 #define N 210
 5 int map[N][N],vis[N],dist[N];
 6 int m,n,start,end;
 7 void dijkstra()
 8 {
 9     int i,j,u,min;
10     memset(vis,0,sizeof(vis));    
11     for(i=0;i)
12     dist[i]=map[start][i];
13     dist[start]=0;
14     vis[start]=1;   
15     for(i=0;i)
16     {
17         min=MAXINT;
18         for(j=0;j//寻找下一个符合条件的节点 
19         if((!vis[j])&&dist[j]<min)
20         {
21             min=dist[j];
22             u=j;
23         }
24         vis[u]=1;
25         for(j=0;j//更新 dist[]，即更新最短距离 
26         {
27             if((!vis[j])&&(dist[j]>(dist[u]+map[u][j])))
28             dist[j]=dist[u]+map[u][j];
29         }
30     }
31 }
32 int main()
33 {
34     while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
35     {
36         int i,j,a,b,c;
37         for(i=0;i)
38         for(j=0;j)
39         map[i][j]=MAXINT;
40         for(i=0;i)
41         dist[i]=MAXINT;
42         for(i=0;i)
43         {
44             scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
45             if(c//如果有重边，则保存权值最小的 
46             map[a][b]=map[b][a]=c;
47         }
48         scanf("%d %d",&start,&end);
49         dijkstra();
50         if(dist[end]==MAXINT)
51         printf("-1\n");
52         else  
53         printf("%d\n",dist[end]);
54     }
55     return 0;
56 }

hdu-2544，与上题类似，没有上一题测试数据严密，代码如下：

 1 #include 
 2 #include <string.h>
 3 #define MAX 1000000
 4 int map[110][110],vis[110],dist[110];
 5 int n;
 6 void dijkstra()
 7 {
 8     int i,j,u,min;
 9     memset(vis,0,sizeof(vis));
10     for(i=1;i<=n;i++)
11     dist[i]=map[1][i];
12     dist[1]=0;vis[1]=1;
13     for(i=1;i<=n-1;i++)
14     {
15         min=MAX;
16         for(j=1;j<=n;j++)
17         if(!vis[j]&&dist[j]<min)
18         {
19             min=dist[j];
20             u=j;
21         }
22         vis[u]=1;
23         for(j=1;j<=n;j++)
24         {
25             if(!vis[j]&&dist[j]>(dist[u]+map[u][j]))
26             dist[j]=dist[u]+map[u][j];
27         }
28     }
29     printf("%d\n",dist[n]);
30 }
31 int main()
32 {
33     int m;
34     while(scanf("%d %d",&n,&m),n||m)
35     {
36         int i,j,a,b,c;
37         for(i=0;i<=n;i++)
38         for(j=0;j<=n;j++)
39         map[i][j]=MAX;
40         for(i=0;i<=n;i++)
41         dist[i]=MAX;
42         for(i=0;i)
43         {
44             scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
45             if(c<map[a][b])
46             map[a][b]=map[b][a]=c;
47         }
48         dijkstra();
49     }
50     return 0;
51 }

View Code

 

 

nyoj-115，也是最短路，dijkstra算法，代码如下：

 1 #include 
 2 #include <string.h>
 3 #define MAX 100000000
 4 int map[1010][1010],vis[1010],dist[1010],s[110];
 5 int m;
 6 void dijkstra(int v)
 7 {
 8     int i,j,u,min;
 9     memset(vis,0,sizeof(vis));
10     for(i=1;i<=m;i++)
11     dist[i]=map[v][i];
12     dist[v]=0;vis[v]=1;
13     for(i=1;i<=m-1;i++)
14     {
15         min=MAX;
16         for(j=1;j<=m;j++)
17         if(!vis[j]&&dist[j]<min)
18         {
19             min=dist[j];
20             u=j;
21         }
22         vis[u]=1;
23         for(j=1;j<=m;j++)
24         if(!vis[j]&&dist[j]>(dist[u]+map[u][j]))
25         dist[j]=dist[u]+map[u][j];
26     }
27 }
28 int main()
29 {
30     int T;
31     scanf("%d",&T);
32     while(T--)
33     {
34         int n,p,q;
35         int i,j,a,b,c,min;
36         scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&p,&q);
37         for(i=0;i<=m;i++)
38         for(j=0;j<=m;j++)
39         map[i][j]=MAX;
40         for(i=0;i<=m;i++)
41         dist[i]=MAX;
42         for(i=0;i)
43         scanf("%d",&s[i]);
44         for(i=0;i)
45         {
46             scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
47             if(c<map[a][b])
48             map[a][b]=map[b][a]=c;
49         }
50         dijkstra(q);
51         min=dist[s[0]];
52         for(i=1;i)
53         {
54             if(dist[s[i]]1]])
55             min=dist[s[i]];
56         }
57         printf("%d\n",min);
58     }
59     return 0;
60 }

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