mathematica动态模型的建模分析
题目
1、动态模型的建模分析，写出求解过程及分析结论。
（1）求解微分方程y'-xy=3x
（2）求微分方程x2y''-2xy'+2y=3x满足条件y(1)=0，y'(1)=1的特解。
（3）求微分方程组的通解。
（4）求函数f(x)=x3-4x+3在区间[-2，2]的极值。
（5）已知一组数据(-1,2)，(0,2.5)，(1,3)，(2,4)，(3,4.5)，(4,5.5)，求已知数据的拟合函数。
（6）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅰ（指数模型）的通解与特解，并绘图。
（7）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅱ（阻滞模型，SI模型），的通解与特解，并绘图（三种形状： S形状，正态形状，钟形）。
（8）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅲ（SIS模型），的通解与特解。
（9）课程第7讲中的问题。在一片没有管理的林区，硬材树与软材树竞争可用的土地和水分。越可用的硬材树生长得越慢。软材树靠生长快、有效消耗水分和土壤养分与硬材树竞争。硬材树靠生长的高度与软材树竞争，它们遮挡了小树的阳光，也更抗疾病。这两种树能否同时在一片林区中无限期地共存，或者一种树是否会迫使另一种树灭绝？应用Mathematica求解以下方程。分析问题。
2、写出简短程序，绘制特殊图形
（1）在Mathematica中绘制如下的星空图。
（2）在Mathematica中绘制心形图。提示：心形曲线的方程为，r=a(1－sinθ)
（3）在Mathematica中绘制三叶草或四叶草的图形。
（4）在Mathematica中绘制瓶子或罐子。
（5）在Mathematica中绘制海螺。
（6）在Mathematica中绘制魔方。
（7）在Mathematica中绘制漫画人形图。
（8）绘制其它任何，你觉得有意思的图形，现实存在的，或幻想的，或未来的图形。
解答过程
1、动态模型的建模分析
（1）根据题目一要求，输入微分方程，通过DSolve命令得到微分方程求解结果如下图所示：
图 1 - 微分方程求解
（2）根据题目二要求，输入微分方程，通过DSolve命令得到微分方程特解结果如下图所示：
图 2 - 微分方程特解
（3）根据题目三的要求，输入微分方程组，通过DSolve命令求得微分方程组的特解如下图所示：
图 3 - 微分方程组求特解
（4）根据题目四的要求，通过Plot和求极值命令得到函数在[-2,2]上的极值如下图所示：
图 4 - 求函数极值
（5）根据题目五的要求，通过Fit和Plot等函数命令得到改组数据的拟合数据，计算过程如下图所示：
首先求数据拟合
图 5 - 求数据拟合
Plot和Show等命令画出数据的散点图以及相关拟合的函数图像进行比较，比较结果如下图所示
图 6 - Plot作图
同时可以通过Show[图形变量组,可选项]的形式，将多个函数的图像画在同 一坐标系中，绘制结果如下图所示：
图 7 - Show作图
根据绘制结果分析，可以发现第二次比第一次的拟合程度高，但从简单实用的角度，可以选择第一个拟合函数
（6）根据题目六的要求，利用mathematica求解传染病模型，求解器通解和特解，并绘制图案。
通过计算可以的到通解和特解分别如下图所示：
图 8 - 通解和特解
绘制图案，将a=1，k=1如下图所示：
图 9 - 绘制图案
（7）根据题目七的要求，利用mathematica求解传染病模型2，求得其通解和特解，并绘制三种图案。
通过计算可以的到通解和特解分别如下图所示：
图 10 - 通解和特解
绘制图案，将a=1，k=1如下图所示：
S型曲线：
图 11 - S型曲线
正态形状：
图 12 - 正态形状
钟型曲线：
图 13 - 钟型曲线
（8）根据题目八的要求，利用mathematica求解传染病模型Ⅲ，求得其通解和特解，得到结果如下图所示：
图 14 - 通解求解
（9）根据题目九的要求，利用mathematica求解下列方程：
通过求解得到结果如下图所示：
图 15 - 求解方程
2、写出简短程序，绘制特殊图形
（1）通过查阅相关资料，根据题目要求画氢原子电子云（(n,m,l)=(4,0,3)）示意图，利用Mathematica绘制可得到近似于星空图如下：
图 16 - 星空图绘制
（2）在Mathematica中绘制心形图。根据心形曲线的方程为，r=a(1－sinθ)绘制得到心形图如下：
图 17 - 心形图绘制
（3）三叶草曲线
首先确定极坐标方程为r(x)=1+cos(3x)+1.5×[sin(3x)]^2，范围为[0,2π]，使用PolarPlot命令在Mathematica即可绘制一个相比官方实例较为复杂的三叶草曲线，绘制图案如下图所示：
图 18 - 三叶草曲线
（4）在Mathematica中绘制瓶子或罐子。
通过查阅资料，通过Manipulate使用RevolutionPlot3D三维旋转图命令得到一个花瓶，生成花瓶如下：
图 19 - 花瓶绘制
（5）在Mathematica中绘制海螺。
通过查阅资料，通过Manipulate使用交互操作得到一个可以变形得到海螺的命令，并生成海螺如下：
图 20 - 绘制海螺图
（6）在Mathematica中绘制魔方。
通过查阅资料，通过Manipulate利用三维图像，数组等知识，绘制魔方如下图所示：
图 21 - 魔方绘制
（7）在Mathematica中绘制漫画人形图。
图 22 - 绘制人形图
（8）绘制其它任何，你觉得有意思的图形，现实存在的，或幻想的，或未来的图形。
图 23 - 绘制随意图案