【算法基础】空瓶换酒

空瓶换酒-python实现

最近学习学习到一种空瓶换酒的算法，其题目描述为：假设一瓶啤酒2元钱，商家为了促销，规定：可以用2个空瓶子换一瓶啤酒，或者用4个盖子换一瓶啤酒。现在你身上有10元钱，可以买多少瓶啤酒。

1.算法分析

1.1 通常情况

首先假设最后可以用空瓶子换到$X$个啤酒,可以用盖子换到$Y$个啤酒，同时我们可以用N元钱一开始就买到M个啤酒，就可以得到下面的不等式：
$$X\le \frac{M+X+Y}{2}<X+1$$
$$Y\le \frac{M+X+Y}{4}<Y+1$$
上述两个公式说明，最后喝到的啤酒数量，肯定不能够再兑换多一个啤酒。

通过化简上述公式，可以得到以下公式：
$$M+Y-2<X\le M+Y(1)$$
$$\frac{M+X-4}{3}<Y\le \frac{M+X}{3}(2)$$
化简上述不等式之后，可以利用不断遍历循环，来验证不同值的情况。

举个例子：
当有10块钱，一开始可以买到$M=5$的啤酒数量，当$Y=1$时，通过公式(1)可以得到$X$的取值范围为$X\in [4,6]$。然后再把$X$和$Y$的几种情况代入到公式(2)进行验证。发现上述情况都不符合。

具体的python编程逻辑：

def cal_bar(moneny):
    x = 0
    y = 0
    m = moneny / 2
    for y in range(10):
        x_min = m + y -2
        x_max = m + y
        if x_max > x_min > 0:
            for i in range(x_min + 1, x_max + 1):
                if (m + i - 4) / 3 < y <= (m + i) / 3:
                    return i, y

    return None, None

结果可以喝到15瓶啤酒。

1.2 赊账情况

上面的情况是不能进行赊账的，如果能向老板进行赊账，则有有种原子操作：

• 目前手上有1个瓶子，向老板借1个瓶子，然后兑换1个啤酒，喝掉啤酒后，还之前借的酒瓶，这时候的情况是：喝了1个啤酒，得到1个盖子
• 目前手上有2个盖子，向老板借2个盖子，然后兑换1个啤酒，喝掉之后，这时候生产出1个空瓶和1个盖子，利用上面的操作再借空瓶，就可以再喝1个啤酒，这时候就可以还掉2个盖子，实际上：喝了2个啤酒，瓶子和盖子都没有剩下

使用这两种操作，可以得到比不能借的情况下更优的解：

def drink(moneny):
    total = 0
    wine, bottle, lid = moneny / 2, 0, 0
    while True:
        if wine != 0:
            total += wine
            bottle += wine
            lid += wine
            wine = 0
        elif bottle != 0:
            total += bottle
            lid += bottle
            bottle = 0
        elif lid >= 2:
            total += (lid / 2) * 2
            lid %= 2
        else:
            break
    return total

最后可以得到喝了20瓶啤酒。