如何判断一点在三角形内的四种方法

定在右手坐标系中的三角形3点坐标为A，B，C，判断P是否在ABC之内

方法1：三个Perplane的方法

            
设AB，BC，AC边上的垂直平面为Perplane[3]，垂直朝向内侧的法向为n[3]
           
1）先根据任意两边叉出法向N

                N = AB.CrossProduct(AC);
                N.Normalize();
                D = A.DotProduct( N );
         

2）如果P在三角形所在平面之外，可直接判定不在平面之内（ 假定方程为 ax+by+cz+d = 0 )

                if( P.DotProduct( N ) + D > 0 ) return false;
           

3）然后法向和各边叉出垂直平面的法向

                n[0] = N.CrossProduct(AB); //朝向内侧
                n[0].Normalize();
                Perplane[0].dist = A.DotProduct(n[0]);
                Perplane[0].normal = n[0];
                同样方法求得Perplane[1],Perlane[2];
           

3）因为三个Perplane都朝向三角形内侧，P在三角形内的条件是同时在三个Perplane前面；如果给定点P在任意一个垂直平面之后，那么可判定P在三角形外部

                for( int i = 0;i<3;j++ )
                {
                     if( P.DotProduct( Perplane.normal ) + Perplane.dist < 0 )
                          return false;
                }
               

return true;//如果P没有在任意一条边的外面，可判断定在三角形之内，当然包括在边上的情况

方法2：三个部分面积与总面积相等的方法

S(PAB) + S(PAC) + S( PBC) = S(ABC) 则判定在三角形之内
           
用矢量代数方法计算三角形的面积为
                   S = 1/2*|a|*|b|*sin(theta)
                      = 1/2*|a|*|b|*sqrt(1-cos^2(theta))
                       = 1/2*|a|*|b|*sqrt(1- (a.DotProduct(b)/(|a|*|b|))^2);
              
另一种计算面积的方法是 S = 1/2*|a.CrossProduct(b)|         
   
比较一下，发现后者的精确度和效率都高于前者，因为前者需要开方和求矢量长度，矢量长度相当于一次点乘，三个点乘加一个开方，显然不如         

后者一次叉乘加一次矢量长度（注，一次叉乘计算相当于2次点乘，一次矢量长度计算相当于一次点乘），后者又对又快。
                  
                S(ABC)  = AB.CrossProduct(AC)；//*0.5;
                S(PAB)  = PA.CrossProduct(PB)；//*0.5;
                S(PBC)  = PB.CrossProduct(PC)；//*0.5;
                S(PAC)  = PC.CrossProduct(PA)；//*0.5;

                if( S(PAB) + S(PBC) + S(PAC) == S(ABC)  )
                     return true;
                return false;
                  
另一种计算三角形面积的矢量方法是 1/2*a.CrossProdcuct(b) ，CrossProduct = ( y1*z2 - y2*z1 , x1*z2 - x2*z1, x1*y2 - x2*z1 )                

可以看到CrossProduct 的计算要比DotProduct多3个乘法计算，效率没有上面的方法高

方法3：三个向量归一化后相加为0
  

这个方法很怪异，发现自http://flipcode.spaces.live.com/blog/cns!8e578e7901a88369!903.entry 下面的一个回帖
               
               
           
如上图三角形ABC，P为AB外侧一点，N1，N2，N3 分别为BP，AP，CP的归一化矢量；NM为N1，N2夹角的角平分线
           
可以看出角A-P-B是三角形内角，必然小于180度，那么角N1-P-N2等于A-P-B；NM是N1-P-N2的角平分线，那么角B-P-N等于角N-P-A，而CPN必然小于其中一个， 即小于180/2 = 90度。结论是角N1，N2的合矢量方向与N3的夹角为锐角。所以N1，N2，N3的合向量模大于1.
           
这里注意，N3不一定在N1，N2之间，不能假定N2-P-N3 和N3-P-N1这两个角一定是锐角 同样可以推导出如果P在三角形内，N1+N2+N3必然小于0；若N1+N2+N3 = 0则P在三角形的边上。
           
有没有更简单的推导方法？
这个方法看起来很精巧，但是善于优化的朋友会立刻发现，三个矢量归一化，需要三个开方。迭代式开方太慢了，而快速开方有的时候又不满足精度要求。
            

方法4：重心坐标之和为1

          {
                BaryCenter = ( S(PAB)/S(PABC),S(PBC)/S(PABC),S(PAC)/S(PABC)) // 点P在三角形内的重心坐标
         
                if( BaryCenter.x + BaryCenter.y + BaryCenter.z >0.f )
                     return false
                return true;
           }          

其中S(PAB)，S(ABC)，S(PBC)，S(PBC) 用上述的方法二种提到的计算三角形面积方法计算。









综合比较
           
方法1必须求叉乘，虽然可以通过首先排除不在平面内的点，但是后面仍要求三个叉乘和3个点乘（当然还可排除法优化）
      
方法2看起来之需要求4个点乘，如果用叉乘方法计算面积，可能会导致效率低下
      
方法3是看起来是最精巧的方法，但是效率也不能保证...3个开方
      
方法4和方法2的效率差不多



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