二分图最大匹配与其应用

部分定义

• 传递闭包

  一个图。如果图 G G 中点 i i 到点 j j 存在通路，那么在传递闭包中有边 i−>j i − > j

• 二分图

  一个图 G G ，可以将其所有点分成 x,y x , y 两个点集，同时所有边满足他的两个端点分别落在 x,y x , y 上，而不会落在同一个集合里。

• 匹配

  实际为原图 G G 一个边集， G G 中任意点作边的端点至多一次。
  通俗一点的说法：将图中部分或所有点一对一对通过一条边配起来
  最大匹配：边集中边数最多的一个匹配。
  .
  举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。
  

• 增广路

  在图 G G 与图 G G 的一个匹配边集 M M 的前提下
  一条由未匹配顶点 x x 到 y y 的路径。
  这条路径上一条是已匹配边，一条是未匹配边，如此相交错(交替路)，
  其中第一条和最后一条边一定不是匹配边 (因为 x,y x , y 未匹配)。
  因为增广路主要应用于匈牙利算法中，用于求二分图最大匹配，所以我们一般在二分图基础上讨论他。

增广路的性质：

1 有奇数条边。

匹配边与未匹配边交替出现且首尾都为未匹配边。

2 路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。

由二分图性质得，因为二分图同一边的点之间没有边相连。

3 路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。

同上

4 增广路径的取反可扩大匹配

增广路径的取反:
把增广路径上的所有未匹配边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有匹配边边从原匹配中删除。

显然的这条路径上的一个点可以和他相邻的两个点匹配。
所以我们调整增广路上的端点的匹配顺序，将空出的 x,y x , y 匹配
这样变动依旧每个顶点只会出现一次，且边数增加了一条

二分图最大匹配_匈牙利算法

既然我们知道增广路的取反可以增加匹配边数，那我们就不断的去找增广路去取反他，直到没有为止。当找不到增广路时，那么当前匹配就是最大匹配
(增广路的推论 M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。)，

证明思路大概是这样的： 如果从一个点A出发，没有找到增广路径，那么无论再从别的点出发找到多少增广路径来改变现在的匹配，从A出发都永远找不到增广路径。

匈牙利算法正是这么做的。

一个老司机写的教程：老司机开车就是稳！

伪代码

bool find(int x){  
    for (与x相连且当前没有找过增广路的点i) {
        标记找过;
        if (i已经匹配过) {
            找与i匹配的点是否有增广路,//if find(link(i)) 这里就相当于交替路了
            如果是：返回true表示有增广路;
        } else  {
            可做增广路末端点，返回true;
        }
    }
    return false;
}
for (i=1;i<=n;i++) //每个左边点
{   
    memset(used,0,sizeof(used)); 
    if find(i) all+=1; //找增广路
}

其实理解上来说我们可以想成一个不断让的过程（贪心），其原理自己清楚就好。

时间复杂度分析

枚举每个点的增广路为n;
最坏情况枚举所有边m;
虽然最坏O(nm)的复杂度比较难看，但是匈牙利算法在实际应用中平均复杂度还是比较优秀的，且思维难度不大，代码复杂度低，是比较可取的一种二分图最大匹配算法。
其他算法有网络流，还有分层优化的匈牙利，以后再看看吧。

应用

(1)二分图的最小顶点覆盖

最小顶点覆盖要求用最少的点（X或Y中都行），让每条边都至少和其中一个点关联。

Knoig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于二分图的最大匹配数。
简单理解：建出求二分图最大匹配的网络，中间的边是inf.
首先最大匹配 = 最大流，//TODO

(2)有向无环图(DAG)的最小路径覆盖

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。
结论：DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 新图最大匹配数（m）
新图为把每一个顶点x分为入点和出点x,x’两个集合，对于由x->y的边，在新图中连x’->y，这样会得到一个二分图
粗略证明1：设最大匹配数为m，总顶点数为n。为了使边数最少，又因为一条边最多能干掉两个点，所以尽量用边干掉两个点
也就是取有匹配的那些边，当然这些边是越多越好，那就是最大匹配了，所以先用最大 匹配数目的边干掉大多数点.
剩下的解决没有被匹配的点，就只能一条边干掉一个点了，设这些数目为a
显然，2m+a=n，而最小边覆盖=m+a，
所以最小边覆盖=（2m+a）-m=n-m

(3)二分图的最大独立集

最大独立集问题： 在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值
结论：二分图的最大独立集数 =节点数（n）— 最大匹配数（m）
最大独立集=最小覆盖。 这个显然。

---

1. 引自http://blog.csdn.net/jackyguo1992/article/details/8184359 ↩