最大流模板（Edmonds-Karp）

最近在看网络流，看了算法导论不是很懂。。不知道书里那个图是不是错了，搞得我有点混乱；

然后就从网上查下资料，翻了几个大神的博客，就搞懂了个大概是怎么回事；网络流里有很多

算法，因为是入门，所以就写了个EK（Edmonds-Karp）求最大流的算法，顺便做了个模板题；

写的时候还行，大概思路没什么问题，就是实现的时候有点小错误，下面是本人学习中的一些理解：

Edmonds-Karp求最大流的算法核心思想就是不断找增广路，每找到一条增广路，记录增广路中

边流量最少的值d，然后让当前找到增广路中的每一条正向弧减去d，让反向弧加上d，当不再找

到增广路的时候，就证明当前的总流量已经是最大流；至于怎样找增广路。。一致认为BFS是最好

的方法了。。。

增广路（摘自NOCOW）：设f 是一个可行流，W是发点到收点的一条有向道，如果W满足下列条件，称之为关于可行流f的一条可增广道
(又称可扩道)：
1. 每条正向弧是非饱和弧，
2. 每条反向弧是非零流弧.

做完题之后，发现如果不加反向弧好像也可以算出答案，但是交上去又WA，然后百度搜了下

为什么要有反向边或者残余图？

前面我们确定了一条路径的最小流量之后，我们实际上可以把这部分流量从图中删去（这个可以看做减治的过程）：因为这个路径以后是不会更改的，而且路径之间互不影响。但是也会出现一定的问题：结果往往不是最优的。反向边和残余图可以解决这一问题。

最近又看了算法导论之后，看到了个可以作为不加反向弧而得不到最优解的反例，如下图

第一张图是最原始的图，值为边的容量，第二张图是找出s->v1->v2->t增广路后不加反向弧的残余图；明显的，如果不加反向弧，v1->v2一旦成为饱和弧后，就不能恢复，而这样最后算出来的流值是199，但是正确的最大流值是200，所以不加反向弧不能保证得到的是最优解（这算是证明么- -！）；

POJ 1273（Drainage Ditches），可以用来测试下代码写得对不对，第一次做网络流的题，纪念下。。

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int inf=0xfffff;
const int N = 330;
int maxflow, pre[N], dp[N][N];

void Edmonds_Karp(int start, int end, int m){
	while(1){
		queue p;
		int minflow = inf;
		p.push(1);				  //源点为1，进队 
		memset(pre, 0, sizeof(pre));//初始化增广路径数组，题目中的顶点是从1开始的 
		while(!p.empty()){		//bfs找增广路 
			int u = p.front();
			p.pop();
			if(u == end)			 
				break;
			for(int i = 1;i <= m;i++)
				if(dp[u][i] > 0&&pre[i] == 0){ //pre[i]除了记录当前顶点的父亲，还记录当前顶点有没被访问过 
					pre[i] = u;				 
					p.push(i);
				}	 
		}
		if(pre[end] == 0)					//顶点的父亲为空，表示找不到增广路，很容易理解吧。。 
			break;
		for(int i = end;i != start;i = pre[i])	//找出增广路中最小残余量 
			minflow = min(minflow, dp[pre[i]][i]);
		for(int i = end;i != start;i = pre[i])	{
			dp[pre[i]][i] -= minflow;			//更新增广路中正反向弧的流量 
			dp[i][pre[i]] += minflow;
		}
		maxflow+=minflow;
	}
}

int main(){
	int n, m;
	while(~scanf("%d%d", &n, &m)){
		int i, a, b, f;
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for(i = 0;i < n;i++){
			scanf("%d%d%d", &a, &b, &f);
			dp[a][b] += f;
		}
		maxflow = 0;
		Edmonds_Karp(1, m, m);
		printf("%d\n", maxflow);
	}
	return 0;
}