【CodeForces1202F】You Are Given Some Letters...

【题目链接】

• 点击打开链接

【思路要点】

• 枚举周期 $p$ ，考虑如何判断其是否合法。
• 记 $N=a+b,r=\lfloor \frac{N}{p}\rfloor$ ，那么最后一段有 $N\%r$ 个字符，其中至少有 $a\%r$ 个 $A$ ， $b\%r$ 个 $B$ ，因此一个必要条件为 $N\%r\ge a\%r+b\%r$ ，记 $delta=N\%r-a\%r-b\%r$。
• 记在整段中的 $A,B$ 的个数为 $a_0,b_0$ ，在最后一段的 $A,B$ 的个数为 $a_1,b_1$ ，使得字符串存在长度为 $p$ 的周期的充要条件是 $a_0\ge a_1,b_0\ge b_1$ ，其必要性显然，并且不难构造。
• 因此，我们需要 $\lfloor \frac{a}{r}\rfloor \ge a\%r,\lfloor \frac{b}{r}\rfloor \ge b\%r$ ，且 $\lfloor \frac{\lfloor \frac{a}{r}\rfloor -a\%r}{r+1}\rfloor +\lfloor \frac{\lfloor \frac{b}{r}\rfloor -b\%r}{r+1}\rfloor \ge \frac{delta}{r}$ ，注意这里 $delta$ 一定是 $r$ 的倍数。
• 至此，我们有了一个 $O(a+b)$ 的做法。
• 不难注意到多数条件中只出现了 $r$ ，枚举 $r$ ，则可以得到一个 $p$ 的范围，据此计算答案即可。
• 时间复杂度 $O(\sqrt{a+b})$ 。

【代码】

#include
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
void force() {
	int a, b; read(a), read(b);
	int n = a + b, ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int r = n / i, delta = (n % i - (a % r + b % r)) / r;
		if (delta >= 0 && a / r >= a % r && b / r >= b % r && delta - (a / r - a % r) / (r + 1) - (b / r - b % r) / (r + 1) <= 0) ans++;
	}
	writeln(ans);
}
int main() {
	int a, b; read(a), read(b);
	int n = a + b, ans = 0;
	for (int i = 1, nxt; i <= n; i = nxt + 1) {
		int r = n / i; nxt = n / r;
		if (a / r >= a % r && b / r >= b % r) {
			int Min = (a % r + b % r);
			int Max = ((a / r - a % r) / (r + 1) + (b / r - b % r) / (r + 1)) * r + (a % r + b % r);
			int rMin = (n - Max) / r + ((n - Max) % r != 0);
			int rMax = (n - Min) / r;
			chkmax(rMin, i);
			chkmin(rMax, nxt);
			if (rMin <= rMax) ans += rMax - rMin + 1;
		}
	}
	writeln(ans);
	return 0;
}