拓扑排序算法及应用详解1（原理与模板）

拓扑排序算法及应用详解1（原理与模板）

什么是拓扑排序？

排序是确定某序列的顺序，之前我们学过很多的排序，他们基本上是对数组进行排序，意在把一组元素序列按照某种自定义的顺序进行排序（广义）。它们的特点是，被排序的序列的元素之间存在某种大小关系，这种大小关系我们可以用数学意义上的**“大于”和“小于”来体现。但是如果这种“大小关系”**我们不能用数学逻辑里的：’>’ 和 ‘<’ 来表示，而是一种内在的联系（顺序）的时候，我们就难以自定义一个compare()函数来说明我们的比较法则，而是只能用表示他们内在联系的方式：有向图来表达。
举个最直观的例子：我们在安排大学四年的上课顺序的时候，每一门课，都有它的先修课和后续继续深入的课，就像是上网站设计之前要学一些编程语言和技巧，例如C/C++/sql，这样才有利于PHP和MySQL的学习，学网站设计之后还要深入学习web系统设计。在这个关系种我们可以建立有向图，先修课将指向后继课程！所以大家可以想到，我们的拓扑排序是针对有向图的，但是光是有向图其实不够，还必须是有向无环图，从抽象的角度去理解，可以这么认为，如果有环，那那个环中的元素，到底谁先谁后是不清楚的，后面我会用代码来告诉大家，其实如果有环，那个环根本无法被处理！

图解拓扑排序

我们不妨以这个为例，我们可以看到，这是一个有向无环图！

基于BFS的拓扑排序算法步骤：

还是看之前的上课安排的例子，什么课会第一个被安排？？很明显，最基础的课会被先安排，那什么课是最基础的呢？就是没有先修课的课！那这个没有先修课，就可以理解为当前有向无环图的点，它的入度为0！在上面这个图种我们很容易看到，有两个入度为0的点：v1、v6，算法步骤如下：
第一步：
度为0的点：v1 v6入队列；
队列状态：v1、v6；
第二步：v1出队列，v1直接指向的点：v2、v3、v4入队列
队列状态：v6、v2、v3、v4；
第三步：v6出队列，v6直接指向的点：v5入队列
队列状态：v2、v3、v4、v5；
第四步：v2出队列，v2直接指向的点：无入队列
……
接下来的步骤自己去模拟就好了，实际上大家可以看得出，这个拓扑排序我使用的是bfs的思想！

基于BFS的代码实现：

#include 
#include  
using namespace std;

const int maxn = 1e4 + 5;
vector<int> G[maxn];
int n, m, u, v, in[maxn], q[maxn];//数组模拟队列 
int Sort(){
	int l = 0, r = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		if(!in[i])
			q[r++] = i;//第一批入队 
	}
	while(l < r){
		int val = q[l++];// 出队列
		for(int i = 0;i < G[val].size();i++){
			in[G[val][i]]--;
			if(!in[G[val][i]])
				q[r++] = G[val][i];// 直接指向的点入队列 
		} 
	}// l < r 相当于队列不空 
	return r;// 检查是否存在环路！ 
} 

int main(){
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= m;i++){
		cin >> u >> v;
		G[u].push_back(v);// 邻接表存储 
		in[v]++;// v的入度+1 
	}
	int cnt = Sort();
	if(n == cnt){
		for(int i = 0;i < cnt;i++)
			cout << q[i] << ' ';
	}
	else
		cout << "It is a Circle!";
	return 0;
}

值得注意的是：我这里用数组来模拟队列操作，然后用邻接表来存图。用数组是因为STL提供的队列很容易爆（类内开辟空间不是在自由区开辟的，不能开那么大），其实我这样写也还是很容易爆，在竞赛种最好还是用循环队列模拟、并且用链式前向星来存图，这里我只是为了来描述拓扑排序，于是就不搞那么复杂了！

基于DFS的拓扑排序算法：

回顾DFS的特点：沿着一条可行路径，一直搜素到最底层，然后逐层回溯，这个过程实际上正好反映了点与点之间的先后关系，天然符合拓扑排序！
算法分析：
在一个有向无环图种，如果有一个点u，它的入度是0，那么我们就从这个点开始做dfs。dfs返回的顺序恰好就是一个拓扑序！
处理一些细节：
我们应该是以入度为0的点为dfs的开始，那我们该如何找到这个点？如果有很多入度为0的点，我们要一个个去做dfs吗？有这么一种方法可以解决这个问题，我们可以假设一个虚拟的点，这个点是图中唯一一个入度为0的点，图中其他的所有点都是它的下一层递归！然而在实际编程的时候是不需要考虑这个点的，我们只需要在main()函数中把每一个点轮流执行一遍dfs就可以了！这样做就相当于显式地递归了虚拟假象点的下一层点！

基于DFS的代码实现：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn = 1e4 + 5;
vector<int> G[maxn];
stack<int> s;
int n, m, u, v, vis[maxn];
bool dfs(int pos){
	vis[pos] = -1;// 表示当前点正在访问中
	for(int i = 0;i < G[pos].size();i++){
		if(-1 == vis[G[pos][i]])
			return false;
		else if(!vis[G[pos][i]] && !dfs(G[pos][i]))
			return false;
	} 
	vis[pos] = 1;// 表示成功被处理
	s.push(pos);
	return true; 
}

bool Sort(){
	memset(vis, 0, sizeof(vis));// 该点未被处理 
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		if(!vis[i] && !dfs(i))
			return false;
	}
	return true;
}

int main(){
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= m;i++){
		cin >> u >> v;
		G[u].push_back(v);
	}
	if(!Sort())
		cout << "It has a Circle!";
	else{
		while(!s.empty()){
			cout << s.top() << ' ';
			s.pop();
		}
	}
	return 0;
}