组合数学——牡牛和牝牛

牡牛和牝牛

约翰要带 N 只牛去参加集会里的展示活动，这些牛可以是牡牛，也可以是牝牛。

牛们要站成一排，但是牡牛是好斗的，为了避免牡牛闹出乱子，约翰决定任意两只牡牛之间至少要有 K 只牝牛。

请计算一共有多少种排队的方法，所有牡牛可以看成是相同的，所有牝牛也一样，答案对 5000011 取模。

输入格式
一行，输入两个整数 N 和 K。

输出格式
一个整数，表示排队的方法数。

数据范围
$1\le N\le 10^5$,
$0\le K<N$
输入样例：
4 2
输出样例：
6
样例解释
6 种方法分别是：牝牝牝牝，牡牝牝牝，牝牡牝牝，牝牝牡牝，牝牝牝牡，牡牝牝牡。

题解：

感觉从此做组合数学有了新的思路。因为组合数学也是递推关系。所以我们用dp的方法来推。我们$f(i)$代表我们长度为i并且以1结尾的字符串的方案数。我们这里把牛当成0和1来看。
显然我们第i个位置放了1，那么最近的一个放1的位置就是i-k-1直到0都是可以放1的，第0个位置放1就代表这个序列不包含1。这里看来我们每个位置放1的方案数加起来就可以了。但是数据是$10^5$n方显然是不可以的，考虑题目中是前缀和的形式，所以我们边记录边加前缀和就可以了。

#include 
//#define int long long
using namespace std;
const int N=100010;
const int mod=5000011;
int n,k;
int f[N],s[N];
int main()
{
    cin>>n>>k;
    f[0]=s[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i]=s[max(0,i-k-1)];
        s[i]=s[i-1]+f[i];
    }
    cout<<s[n]<<endl;
    return 0;
}