人脸识别损失函数疏理与分析

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写在前面

Closed-set 和 Open-set 人脸识别的对比如下，

两张人脸图像，分别提取特征，通过计算特征向量间的距离（相似度）来判断它们是否来自同一个人。选择与问题背景相契合的度量方式很重要，人脸识别中一般有两种，欧氏距离和余弦距离（角度距离）。

训练阶段和测试阶段采用的度量方式要一致，如果想在测试阶段使用欧氏距离，自然在训练阶段就要基于欧氏距离来构造损失进行优化。

实际上，不同度量方式间存在着一定的内在联系，

• 欧氏距离与向量的模和角度都有关，模固定，角度越大欧氏距离也越大，角度固定，模同比增大欧式距离也增大，模分别增大情况会比较复杂；
• 余弦距离和角度距离有单调关系（负相关），但两者分布的“密度”不同，观察余弦函数曲线可知，在角度从0向\(\pi\)匀速（线性）前进时，余弦值在0和\(\pi\)附近缓慢变化，在\(\frac{\pi}{2}\)附近近似线性变化
• 当向量模长归一化后，欧氏距离和余弦距离有单调关系，所以，在预测阶段，归一化后的特征选取哪种度量进行判别均可

可对不同损失函数按度量方式进行划分，

• 欧氏距离：Contrastive Loss，Triplet Loss，Center Loss……
• 余弦距离（角度距离）：Large-Margin Softmax Loss，Angular-Softmax Loss，Large Margin Cosine Loss，Additive Angular Margin Loss……

先从最基本的Softmax Loss开始。

Cross-Entropy Loss (softmax loss)

交叉熵损失，也称为softmax损失，是深度学习中应用最广泛的损失函数之一。

\[\mathcal{L}_{\mathrm{s}}=-\frac{1}{N_b} \sum_{i=1}^{N_b} \log \frac{e^{W_{y_{i}}^{T} x_{i}+b_{y_{i}}}}{\sum_{j=1}^{n} e^{W_{j}^{T} x_{i}+b_{j}}} \]

其中，

• \(n\)个类别，\(N_b\)为batch size
• \(x_{i} \in \mathbb{R}^{d}\)，第\(i\)个样本的特征，特征有\(d\)维，属于\(y_i\)类
• \(W \in \mathbb{R}^{d \times n}\)为权重矩阵，\(W_j\)表示\(W\)的第\(j\)列，\(b_{j} \in \mathbb{R}^{n}\)为bias

特征\(x\)经全连接层的权重矩阵\(W\)得到与类别数相同的\(n\)个\((-\infty, +\infty)\)实数，相对越大的实数代表越像某一个类别，Softmax的作用是将\((-\infty, +\infty)\)的\(n\)个实数通过指数映射到\((0, +\infty)\)，然后归一化，使和为1，以获得某种概率解释。

指数操作会将映射前的小差异指数放大，Softmax Loss希望label对应的项越大越好，但因为指数操作的存在，只需要映射前差异足够大即可，并不需要使出“全力”。

在人脸识别中，可通过对人脸分类来驱动模型学习人脸的特征表示。但该损失追求的是类别的可分性，并没有显式最优化类间和类内距离，这启发了其他损失函数的出现。

Contrastive Loss - CVPR2006

Contrastive Loss由LeCun在《Dimensionality Reduction by Learning an Invariant Mapping》CVPR2006中提出，起初是希望降维后的样本保持原有距离关系，相似的仍相似，不相似的仍不相似，如下所示，

\[\begin{array}{c} L\left(W, Y, \vec{X}_{1}, \vec{X}_{2}\right)= (1-Y) \frac{1}{2}\left(D_{W}\right)^{2}+(Y) \frac{1}{2}\left\{\max \left(0, m-D_{W}\right)\right\}^{2} \end{array} \]

其中，\(\vec{X}_{1}\)和\(\vec{X}_{2}\)为样本对，\(Y=\{0， 1\}\)指示样本对是否相似，\(Y=0\)相似，\(Y=1\)不相似，\(D_W\)为样本对特征间的欧氏距离，\(W\)为待学习参数。相当于欧氏距离损失+Hinge损失

类内希望距离越小越好，类间希望越大越好（大于margin），这恰与人脸识别特征学习的目的相一致。Contrastive Loss在DeepID2中得以使用，作为Verification Loss，与Softmax Loss形式的Identification Loss构成联合损失，如下所示，

\[\operatorname{Ident}\left(f, t, \theta_{i d}\right)=-\sum_{i=1}^{n}-p_{i} \log \hat{p}_{i}=-\log \hat{p}_{t} \\ \operatorname{Verif}\left(f_{i}, f_{j}, y_{i j}, \theta_{v e}\right)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2}\left\|f_{i}-f_{j}\right\|_{2}^{2} & \text { if } y_{i j}=1 \\ \frac{1}{2} \max \left(0, m-\left\|f_{i}-f_{j}\right\|_{2}\right)^{2} & \text { if } y_{i j}=-1 \end{array}\right. \]

这种Softmax Loss + 其他损失 构成的联合损失比较常见，通过引入Softmax Loss可以让训练更稳定，更容易收敛。

Triplet Loss - CVPR2015

Contrastive Loss的输入是一对样本。

Triplet Loss的输入是3个样本，1对正样本（同一个人），1对负样本（不同人），希望拉近正样本间的距离，拉开负样本间的距离。Triplet Loss出自《FaceNet: A Unified Embedding for Face Recognition and Clustering》。

损失函数如下，

\[\mathcal{L}_t = \sum_{i}^{N}\left[\left\|f\left(x_{i}^{a}\right)-f\left(x_{i}^{p}\right)\right\|_{2}^{2}-\left\|f\left(x_{i}^{a}\right)-f\left(x_{i}^{n}\right)\right\|_{2}^{2}+\alpha\right]_{+} \]

该损失希望在拉近正样本、拉开负样本的同时，有一个margin，

\[\left\|f\left(x_{i}^{a}\right)-f\left(x_{i}^{p}\right)\right\|_{2}^{2}+\alpha<\left\|f\left(x_{i}^{a}\right)-f\left(x_{i}^{n}\right)\right\|_{2}^{2} \]

Softmax Loss最后的全连接层参数量与人数成正比，在大规模数据集上，对显存提出了挑战。

Contrastive Loss和Triplet Loss的输入为pair和triplet，方便在大数据集上训练，但pair和triplet挑选有难度，训练不稳定难收敛，可与Softmax Loss搭配使用，或构成联合损失，或一前一后，用Softmax Loss先“热身”。

Center Loss - ECCV2016

因为人脸表情和角度的变化，同一个人的类内距离甚至可能大于不同人的类间距离。Center Loss的出发点在于，不仅希望类间可分，还希望类内紧凑，前者通过Softmax loss实现，后者通过Center Loss实现，如下所示，为每个类别分配一个可学习的类中心，计算每个样本到各自类中心的距离，距离之和越小表示类内越紧凑。

\[\mathcal{L}_{c e}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N}\left\|x_{i}-c_{y_{i}}\right\|_{2}^{2} \]

联合损失如下，通过超参数\(\lambda\)来平衡两个损失，并给两个损失分配不同的学习率，

\[\begin{aligned} L_{c} &=L_{s}+\lambda L_{c e} \\ &=-\sum_{i=1}^{N_{b}} \log \frac{e^{W_{y_{i}}^{T} x_{i}+b_{y_{i}}}}{\sum_{j=1}^{n} e^{W_{j}^{T} x_{i}+b_{j}}}+\frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^{N_b}\left\|x_{i}-c_{y_{i}}\right\|_{2}^{2} \end{aligned} \]

希望达成的效果如下，

以上损失在欧氏距离上优化，下面介绍在余弦距离上优化的损失函数。

L-Softmax Loss - ICML2016

L-Softmax 即 large-margin softmax，出自《Large-Margin Softmax Loss for Convolutional Neural Networks》。

若忽略bias，FC+softmax+cross entropy可写成如下形式，

\[L_{i}=-\log \left(\frac{e^{\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{y_{i}}\right)}}{\sum_{j} e^{\left\|\boldsymbol{W}_{j}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{j}\right)}}\right) \]

可将\(\boldsymbol{W}_{j}\)视为第\(j\)类的类中心向量，对\(x_i\)，希望\(\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{y_{i}}\right)\)相比\(\left\|\boldsymbol{W}_{j}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{j}\right), j \neq y_i\)越大越好，有两个影响因素，

• \(\boldsymbol{W}\)每一列的模
• \(\boldsymbol{x}_i\)与\(\boldsymbol{W}_j\)的夹角

L-Softmax主要关注在第2个因素 夹角上，相比Softmax，希望\(\boldsymbol{x}_i\)与\(\boldsymbol{W}_{y_i}\)靠得更近，于是对\(\cos \left(\theta_{y_{i}}\right)\)施加了更强的约束，对角度\(\theta_{y_i}\)乘上个因子\(m\)，如果想获得与Softmax相同的内积值，需要\(\theta_{y_i}\)更小，

\[L_{i}=-\log \left(\frac{e^{\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}}\right)}}{e^{\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}}\right)}+\sum_{j \neq y_{i}} e^{\left\|\boldsymbol{W}_{j}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{j}\right)}}\right) \]

为此，需要构造\(\psi(\theta)\)，需满足如下条件

• \(\psi(\theta) < cos(\theta)\)
• 单调递减

文中构造的\(\psi(\theta)\)如下，通过\(m\)调整margin大小

\[\psi(\theta)=(-1)^{k} \cos (m \theta)-2 k, \quad \theta \in\left[\frac{k \pi}{m}, \frac{(k+1) \pi}{m}\right], k \in [0, m-1] \]

当\(m=2\)时，如下所示，

二分类情况下，结合解释如下，

为了梯度计算和反向传播，将\(\cos(\theta)\)替换为仅包含\(W\)和\(w_i\)的表达式\(\frac{\boldsymbol{W}_{j}^{T} \boldsymbol{x}_{i}}{\left\|\boldsymbol{W}_{j}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\|}\)，通过倍角公式计算\(\cos(m \theta)\)，

\[\begin{aligned} \cos \left(m \theta_{y_{i}}\right) &=C_{m}^{0} \cos ^{m}\left(\theta_{y_{i}}\right)-C_{m}^{2} \cos ^{m-2}\left(\theta_{y_{i}}\right)\left(1-\cos ^{2}\left(\theta_{y_{i}}\right)\right) \\ &+C_{m}^{4} \cos ^{m-4}\left(\theta_{y_{i}}\right)\left(1-\cos ^{2}\left(\theta_{y_{i}}\right)\right)^{2}+\cdots \\ &(-1)^{n} C_{m}^{2 n} \cos ^{m-2 n}\left(\theta_{y_{i}}\right)\left(1-\cos ^{2}\left(\theta_{y_{i}}\right)\right)^{n}+\cdots \end{aligned} \]

同时，为了便于训练，定义超参数\(\lambda\)，将\(\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}}\right)\)替换为\(f_{y_i}\)，

\[f_{y_{i}}=\frac{\lambda\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{y_{i}}\right)+\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}}\right)}{1+\lambda} \]

训练时，从较大的\(\lambda\)开始，然后逐渐减小，近似于用Softmax“热身”。

A-Softmax Loss - CVPR2017

A-Softmax即Angular-Softmax，出自《SphereFace: Deep Hypersphere Embedding for Face Recognition》。

L-Softmax中，在对\(x_i\)归类时，会同时考虑类中心向量的模和夹角。

A-Softmax的最大差异在于对每个类中心向量进行归一化，即令\(||W_j|| = 1\)，同时令bias为0，在分类时只考虑\(x_i\)和\(W_j\)的夹角，并引入和L-Softmax相同的margin，如下所示，

\[\mathcal{L}_{\mathrm{AS}}=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log \left(\frac{e^{\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}, i}\right)}}{e^{\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}, i}\right)}+\sum_{j \neq y_{i}} e^{\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{j, i}\right)}}\right) \\ \psi(\theta_{y_i, i})=(-1)^{k} \cos (m \theta_{y_i, i})-2 k, \quad \theta_{y_i, i} \in\left[\frac{k \pi}{m}, \frac{(k+1) \pi}{m}\right], k \in [0, m-1] \]

当\(m=1\)时，即不引入margin时，称之为 modified softmax loss。

Softmax Loss、Modified Softmax Loss和A-Softmax Loss，三者的决策面如下，

可视化如下，

AM-Softmax Loss-CVPR2018

AM-Softmax即Additive Margin Softmax，出自论文《Additive Margin Softmax for Face Verification》，同CosFace 《CosFace: Large Margin Cosine Loss for Deep Face Recognition》，CosFace中损失名为LMCL（Large Margin Cosine Loss）。

与A-Softmax相比，有2点变化，

• 对\(x_i\)也做归一化，同时保留对\(W\)每一列的归一化以及bias为0
• 将\(\cos(m \theta)\)变成\(s \cdot (\cos \theta - m)\)

\[\mathcal{L}_{\mathrm{AM}}=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log \frac{e^{s \cdot\left(\cos \theta_{y_{i}}-m\right)}}{e^{s \cdot\left(\cos \theta_{y_{i}}-m\right)}+\sum_{j=1, j \neq y_{i}}^{c} e^{s \cdot \cos \theta_{j}}} \]

相比Softmax，希望获得更大的类间距离和更小类内距离，如果采用的是余弦距离，意味着，要想获得与Softmax相同的\(y_i\)对应的分量，需要更小的夹角\(\theta\)，为此需要构建\(\psi(\theta)\)，如前所述，需要

• \(\psi(\theta) < cos(\theta)\)
• 单调递减

前面构建的\(\psi(\theta)\)，始于\(\cos(m \theta)\)，\(m\)与\(\theta\)是乘的关系，这里令\(\varphi(\theta)= s(\cos (\theta)-m)\)，

• \(\cos(\theta) - m\)：\(m\)变乘法为加法，\(\cos(m\theta)\)将margin作用在角度上，\(\cos(\theta) - m\)直接作用在余弦距离上，前者的问题在于对类中心向量夹角较小的情况惩罚较小，夹角小则margin会相对更小，同时计算复杂，后者可以看成是Hard Margin Softmax，希望在保证类间“硬”间距的情况下学习特征映射。

  

• \(s\)：将\(x_i\)也归一化后，相当于将特征嵌入到单位超球上，表征空间有限，特征和权重归一化后\(\mid \boldsymbol{W}_{j}\|\| \boldsymbol{x}_{i} \| \cos \left(\theta_{ij}\right)=cos(\theta_{ij})\)的值域为\([-1, 1]\)，即\(x_i\)到每个类中心向量的余弦距离，最大为1，最小为-1，Softmax 指数归一化前，各类的分量差异过小，所以要乘个因子\(s\)，将特征映射到半径为\(s\)的超球上，放大表征空间，拉开各分量的差距。

ArcFace Loss - CVPR2019

ArcFace Loss 即 Additive Angular Margin Loss，出自《ArcFace: Additive Angular Margin Loss for Deep Face Recognition》。

AM-Softmax Loss将margin作用在余弦距离上，与之不同的是，ArcFace将margin作用在角度上，其损失函数如下，

\[\mathcal{L}_{\mathrm{AF}}=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log \frac{e^{s \cdot\left(\cos \left(\theta_{y_{i}}+m\right)\right)}}{e^{s \cdot\left(\cos \left(\theta_{y_{i}}+m\right)\right)}+\sum_{j=1, j \neq y_{i}}^{n} e^{s \cdot \cos \theta_{j}}} \]

把margin是加在余弦距离（CosFace）还是加在角度（ArcFace）上，在《Additive Margin Softmax for Face Verification》中有这样一段分析，

ArcFace中并没有求取arccos，所以计算并不复杂，而是把margin加在了角度上，但优化的仍是余弦距离。

还有一点需要注意的是，无论margin是加在余弦距离上还是加在角度上，单纯看示意图，很容易看出减少了类内距离，那类间距离增加呢？

文中，给出了类内距离和类间距离的数学描述，如下：

\[L_{Intra}=\frac{1}{\pi N} \sum_{i=1}^{N} \theta_{y_{i}} \\ L_{Inter}=-\frac{1}{\pi N(n-1)} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1, j \neq y_{i}}^{n} \arccos \left(W_{y_{i}}^{T} W_{j}\right) \]

\(W\)是待学习的参数，特征\(x_i\)也是通过前面层的权重学习得到，在训练过程中\(x_i\)和\(W\)都会发生变化，都会被梯度驱使着向Loss减小的方向移动。margin的引入有意压低了类标签对应分量的值，去尽量“压榨”模型的潜力，在softmax中原本可以收敛的位置还需要继续下降，下降可以通过提高类标签对应分量的值，也可以通过降低其他分量的值。所以，\(x_i\)在向\(W_{y_i}\)靠近的同时，\(W_j, j\neq y_i\)也可能在向远离\(x_i\)的方向移动，最终达成的效果就可能是\(x_i\)尽可能地靠近\(W_{y_i}\)，而\(W_j, j\neq y_i\)远离了\(W_{y_i}\)。

欧氏距离or角度距离与归一化

这里，再讨论下为什么对\(W\)和\(x\)的模进行归一化，主观思考偏多，未经验证。

在文章为什么要做特征归一化/标准化？中，我们提到，

归一化/标准化的目的是为了获得某种“无关性”——偏置无关、尺度无关、长度无关……当归一化/标准化方法背后的物理意义和几何含义与当前问题的需要相契合时，其对解决该问题就有正向作用，反之，就会起反作用。

特征\(x\)与\(W\)每个类中心向量内积的结果，取决于\(x\)的模、\(W_j\)的模以及它们的夹角，模的大小和夹角的大小都将影响内积结果的大小。

• 对\(W_j\)归一化：如果训练集存在较严重的类别不均衡，网络将倾向于把输入图像划分到图片数量多的类别，这种倾向将反映在类中心向量的模上，即图片数量多的类别其类中心向量的模将偏大，这一点论文One-shot Face Recognition by Promoting Underrepresented Classes中有实验验证。所以，对\(W_j\)的模归一化相当于强迫网络同等看待每一个类别，相当于把同等看待每一个人的先验做进网络，来缓解类别不均衡问题。

• 对\(x\)归一化：对某一个具体的\(x_i\)，其与每个类中心的内积 为 \(x_i \cdot W_j = |x_i||W_j|\cos \theta_{ij} = |x_i|\cos \theta_{ij}\)，因为每个类别的内积结果都含\(x_i\)的模，\(x_i\)的模是否归一化似乎并不影响内积结果间的大小关系，但会影响损失的大小，比如内积结果分别为\([4,1,1,1]\)，模同时放大1倍，变成\([8,2,2,2]\)，经过Softmax的指数归一化后，后者的损失更小。在卷积神经网络之卷积计算、作用与思想中，我们知道模式蕴含在卷积核的权重当中，特征代表着与某种模式的相似程度，越相似响应越大。什么样的输入图像容易得到模小的特征，首先是数值尺度较小的输入图像，这点可以通过对输入图像做归一化解决（如果输入图像的归一化不够，对特征进行归一化可能可以缓解这个问题），然后是那些模糊的、大角度的、有遮挡的人脸图像其特征的模会较小，这些图在训练集中相当于困难样本，如果他们的数量不多，就可能会被简单样本淹没掉。从这个角度看，对\(x\)进行归一化，可能可以让网络相对更关注到这些困难样本，去找到更细节的特征，专注在角度上进行判别，进一步压榨网络的潜能。有点Focal Loss思想的感觉。

网络会利用它可能利用上的一切手段来降低损失，有些手段可能并不是你所期望的，此时，通过调整数据、融入先验、添加正则等方式抑制那些你不希望网络采取的手段，修正网络进化的方式，以此让网络朝着你期望的方向成长。

以上。

参考

• A Performance Comparison of Loss Functions for Deep Face Recognition
• InsightFace: 2D and 3D Face Analysis Project
• 人脸识别的LOSS（上）
• 人脸识别的LOSS（下）
• 深度挖坑：从数据角度看人脸识别中Feature Normalization,Weight Normalization以及Triplet的作用