【时间序列】自适应过滤法预测分析

一、自适应过滤法定义

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(1)自适应过滤法是一种时间序列预测技术，是移动平均法、指数平滑法的通项公式。
(2)与移动平均法和指数平滑法不同的是，自适应过滤法中的权数${\varphi }_i$是根据预测误差$e_t$的大小不断调整修改而获得的最佳权数，而移动平均和指数平滑的权数是固定不变的。

二、自适应过滤法基本原理

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2.1一般模型

设$x_1,x_2,x_3,...,x_t$为某一时间序列，则一般预测模型通项为：

$${\hat{x}}_{t+1}={\varphi }_1{x}_t+{\varphi }_2{x}_{t-1}+...+{\varphi }_p{x}_{t-p+1}$$

其中，${\hat{x}}_{t+1}$是$t+1$的预测值，$p$是权数的个数。

• 对于一次移动平均法，${\varphi }_i=\frac{1}{p}$
• 对于一次指数平滑法，${\varphi }_i=\alpha (1-\alpha {)}^i$

2.2权数调整策略

计算方法

$${\varphi }_i^{{}^{\prime }}={\varphi }_i+2k{e}_{t+1}{x}_{t-i+1}$$

其中，${\varphi }_i^{{}^{\prime }}$是调整后第$i$期的权数，${\varphi }_i$是调整前第$i$期的权数，$k$是调整系数，即学习常数，$e_{t+1}=x_{t+1}-{\hat{x}}_{t+1}$是$t+1$期的预测误差，$x_{t-i+1}$是$t-i+1$的观测值。

2.3确定学习常数

学习常数$k$的取值影响权数调整效果、最终预测效果。
为了使权数迅速逼近最佳值，$k$取值应该尽量接近于$1$。但是，$k$值过大会使误差序列发散，从而使最终的均方误差有所增大，影响预测效果。
按照上述权数调整策略的自适应过滤法收敛的的充分条件是：

$$k<\frac{1}{[{\sum }_{i=1}^p{x}_i^2{]}_{max}}$$

三、模型应用

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期数	t=1	t=2	t=3	t=4	t=5
年份	2015	2016	2017	2018	2019
销售额	43	45	48	50	53

自适应过滤法预测2020年、2021年的销售额。
观察到该数据波动不大，基本呈现趋势，所以不需要进行标准化

1.确定权数个数

实际应用中，$p$的取值有严格的规范，$p$越大，达到最佳权数迭代次数越多，这里为了叙述过程较为清晰，$p$取$2$。

2.确定初始权数

因为$p$取值为$2$，所以${\varphi }_1={\varphi }_2=\frac{1}{p}=\frac{1}{2}$

3.计算学习常数

$$k<\frac{1}{[{\sum }_{i=1}^p{x}_i^2{]}_{max}}=\frac{1}{50^2+53^2}=0.0002$$

4.迭代调整权数

4.1一次迭代调整

根据表中数据，计算$t=2$时，$t+1$的预测值：

$${\hat{x}}_{t+1}={\hat{x}}_3={\varphi }_1{x}_2+{\varphi }_2{x}_1=0.5\ast 45+0.5\ast 43=44$$

$$e_{t+1}=e_3=x_3-{\hat{x}}_3=48-44=4$$

根据权数调整策略${\varphi }_i^{{}^{\prime }}={\varphi }_i+2k{e}_{t+1}{x}_{t-i+1}$调整权数：
$${\varphi }_1^{{}^{\prime }}=0.5+2\ast 0.0002\ast 4\ast 45=0.572$$

$${\varphi }_2^{{}^{\prime }}=0.5+2\ast 0.0002\ast 4\ast 43=0.569$$

4.2迭代终止条件

（1）不断用新的权重迭代计算，直到预测误差降为0，系数调整结束。
（2）一般数据不是随机的，所以预测误差无法降至0，此时使用衡量标准均方误差$MSE$
$$MSE=\frac{{\sum }_{t=p}^n(x_{t+1}-{\hat{x}}_{t+1}{)}^2}{n-p}$$

即随着迭代的继续，$MSE$没有进一步的改善，认为此时$MSE$达到最小，系数调整结束。
（3）当权数调整进行到第$n$期时，迭代调整计算已使用全部数据，而$MSE$还未达到最小，此时可以将最后一组权数作为新的初始值，重新进行新一轮的调整过程，直至$MSE$收敛于最小值时，系数调整结束。

5.确定最佳预测模型

本例在经过$5$轮迭代，误差降至接近$0$，并且权重达到稳定不变，最佳权数为$${\varphi }_1=0.54,{\varphi }_2=0.541$$

即预测模型为

$${\hat{x}}_{t+1}={\varphi }_1{x}_t+{\varphi }_2{x}_{t-1}=0.54x_t+0.541x_{t-1}$$

6.模型预测

2020年的销售额：

$${\hat{x}}_6=0.54x_5+0.541x_4=56$$

2021年的销售额：

$${\hat{x}}_7=0.54x_6+0.541x_5=59$$

四、模型改进

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当数据的波动较大时，比如数据递增，递减，递增，递减这种情况，需要对原始数据值作标准化处理，消除数据和残差的量纲问题，可以加快调整速度，使权数更快收敛，并且使自适应过滤法更为有效。标准化公式为：

$$x_{t-i}^{\ast }=\frac{x_{t-i}}{({\sum }_{i=1}^p{x}_{t-i}^2{)}^{\frac{1}{2}}}$$

$$e_{t-i}^{\ast }=\frac{e_{t-i}}{({\sum }_{i=1}^p{x}_{t-i}^2{)}^{\frac{1}{2}}}$$

其中，分母$\omega =({\sum }_{i=1}^p{x}_{t-i}^2{)}^{\frac{1}{2}}$称为标准化常数，更新后的权数调整策略为：

$${\varphi }_i^{{}^{\prime }}={\varphi }_i+2k{e}_{t+1}^{\ast }{x}_{t-i+1}^{\ast }$$