数学建模 时间序列分析

时间序列也称动态序列， 是指将某种现象的指标数值按照时间顺序排列而成的数值序列。时间序列分析大致可分成三大部分，分别是描述过去、分析规律和预测未来，时间序列分析中常用的三种模型：季节分解、指数平滑方法和ARIMA模型， 常用Spss软件对时间序列数据进行建模。

1、时间序列数据

对同一对象在不同时间连续观察所取得的数据。
例如：
（1）从出生到现在，你的体重的数据（每年生日称一次)。
（2）中国历年来GDP的数据。
（3）在某地方每隔一小时测得的温度数据。

1、时间序列

时间序列也称动态序列，是指将某种现象的指标数值按照 时间顺序排列而成的数值序列。时间序列由两个组成要素构成： 1、第一个要素是时间要素；年、季度、月、周、日、小时、分钟、秒2、第二个要素是数值要素。

时间序列根据时间和数值性质的不同，可以分为时期时间 序列和时点时间序列。 时期序列中，数值要素反映现象在一定时期内发展的结果； 时点序列中，数值要素反映现象在一定时点上的瞬间水平。

2、区分时期和时点时间序列

例如：
（1）从出生到现在，你的体重的数据（每年生日称一次)。
（2）中国历年来GDP的数据。
（3）在某地方每隔一小时测得的温度数据。
（1）和（3）是时点时间序列；（2）是时期时间序列

时期序列可加，时点序列不可加。

时期序列中的观测值反映现象在一段时期内发展过程的总量，不同时期的观测值可以相加，相加结果表明现象在更长一段时间内的活动总量； 而时点序列中的观测值反映现象在某一瞬间上所达到的水平，不同时期的观测值不能相加，相加结果没有实际意义。（灰色预测模型里面有一个累加的过程）

3、时间序列分解

因为时间序列是某个指标数值长期变化的数值表现，所以时间序列数 值变化背后必然蕴含着数值变换的规律性，这些规律性就是时间序列分析 的切入点。
一般情况下，时间序列的数值变化规律有以下四种：

1、长期趋势：T

长期趋势(Secular trend,T)指的是统计指标在相当长的一段时间内，受 到长期趋势影响因素的影响，表现出持续上升或持续下降的趋势，通常用 字母T表示。例如，随着国家经济的发展，人均收入将逐渐提升；随着医学 水平的提高，新生儿死亡率在不断下降。

2、季节趋势：S

季节趋势(Seasonal Variation,S)是指由于季节的转变使得指标数值发生周期性变动。这里的季节是广义的，一般以月、季、周为时间单位，不能以年 作单位。例如雪糕和棉衣的销量都会随着季节气温的变化而周期变化；每年 的长假（五一、十一、春节）都会引起出行人数的大量增加。

百度指数

3、循环变动

循环变动（Cyclical Variation,C）与季节变动的周期不同，循环变动通常 以若干年为周期，在曲线图上表现为波浪式的周期变动。这种周期变动的特 征变现为增加和减少交替出现，但是并不具严格规则的周期性连续变动。最 典型的周期案例就是市场经济的商业周期和的整个国家的经济周期。

4、不规则变动：I

不规则变动（Irregular Variation,I）是由某些随机因素导致的数值变化，这些因素的作用是不可预知和没有规律性的，可以视为由于众多偶然因素对 时间序列造成的影响（在回归中又被称为扰动项）。

四种变动与指标数值最终变动的关系可能是叠加关系，也可能是乘积关系。

4、叠加模型和乘积模型

（1）如果四种变动之间是相互独立的关系，那么叠加模型可以表示为：
Y=T+S+C+I

（2）如果四种变动之间存在相互影响关系，那么应该使用乘积模型：
Y=TSC*I

（1）数据具有周期性时才能使用时间序列分解，例如数据是 月份数据(周期为12)、季度数据(周期为4) ，如果是年份数据则 不行。
（2）在具体的时间序列图上，如果随着时间的推移，序列的 季节波动变得越来越大，则反映各种变动之间的关系发生变化， 建议使用乘积模型；反之，如果时间序列图的波动保持恒定， 则可以直接使用叠加模型；当然，如果不存在季节波动，则两 种分解均可以。

5、替换缺失值的五种方法

6、时间序列分析

2、建立时间分析模型

1、指数平滑模型

1、simple模型（只能预测一期）

关于平滑系数的选取原则： 1、如果时间序列具有不规则的起伏变化，但长期趋势接近一个稳定常数，α值一 般较小(取0.05‐0.02之间) 2、如果时间序列具有迅速明显的变化倾向，则α应该取较大值（取0.3‐0.5） 3、如果时间序列变化缓慢，亦应选较小的值（一般在0.1‐0.4之间）

实际上，Spss的专家建模如果选择了Simple模型用来估计，那么软件会帮我们自动 选取一个适合的平滑系数使得预测误差最小。

2、线性趋势模型

3、阻尼趋势模型

4、简单季节性

4、温特加法模型

5、温特乘法模型

2、一元时间序列分析的模型

1、平稳时间序列和白噪声序列

时间序列的平稳性

2、差分方程

将某个时间序列变量表示为该变量的滞后项、时间和其他变量的 函数，这样的一个函数方程被称为差分方程。

差分方程的齐次部分：只包含该变量自身和它的滞后项的式子。

3、滞后算子

4、AR§模型

5、MA(q)模型

MA模型和AR模型的关系

从上面的计算步骤可以看出：我们可以将1阶移动平均模型转换为无穷阶的自回 归模型，这一性质称为移动平均模型的可逆性；类似的，我们在某些条件下（可逆性 条件）也可以将MA(q)模型也转换为无穷阶的自回归过程。

一般地，任何经济变量的时间序列都可以自回归过程来描述。但在模型分析的实 践中，为简化估计参数的工作量，我们当然希望模型当中的参数尽可能地少。于是便 有了引进移动平均过程MA(q)的必要。

6、ARMA(p,q)模型

自回归移动平均模型(Autoregressive Moving Average,ARMA)，就是设法将自回归过程AR和移动平均过程MA结合起来，共同模拟产生既有时间序列样本数据的那 个随机过程的模型。

7、ARIMA(p,d,q)模型

8、SARIMA(Seasonal ARIMA)模型

到目前为止，我们只关注非季节性数据和非季节性ARIMA模型。然而，ARIMA 模型也能够对广泛的季节数据进行建模。季节性ARIMA模型是通过在ARIMA模型中包含额外的季节性项而生成的，其形 式如下：