BZOJ 1101: [POI2007]Zap 莫比乌斯反演

1101: [POI2007]Zap

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Description

　　FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a
，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

　　第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个
正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

　　对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2
//对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（
6,3），（3,3）。

已知ans=∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=k]

令N=⌊nk⌋,M=⌊mk⌋

则答案为ans=∑i=1N∑j=1M[gcd(i,j)==1]

由莫比乌斯函数性质∑d|nμ(d)

只有在n==1时为1，其他时为0

所以式子可化为ans=∑i=1N∑j=1M∑d|gcd(i,j)μ(d)

看起来式子变麻烦了

实际上是为化简提供方便

可得ans=∑d=1Nμ(d)⌊Nd⌋⌊Md⌋

又由N/d程阶梯式递减

所以可以把复杂度卡到O(sqrt(n))

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