BZOJ3994: [SDOI2015]约数个数和

BZOJ3994

d(x)为x的约数个数
求 ∑ni=1∑mj=1d(i,j)
有个很神奇的结论。。

上式=∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)==1]ni∗mj

QnQ 像我这样脑残看不懂证明的就只能记结论了哎。
有了上面这个式子以后很容易往莫比乌斯函数上想。
令 n<=m

∑i=1n∑j=1mni∗mj∑dμ(d)

=∑d=1nμ(d)∑i=1n/d∑j=1m/dn/dim/dj

令f(x)=∑xi=1xi
O(nn√) 预处理出 f .(还可以线性筛，但是这个题这个复杂度也可以接受)
然后每次查询就下底函数分块辣。总复杂度 (O(N+T)N−−√)

【代码】

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define N 50005
#define M 50000005
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pairint> pa;

ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m,T;
int f[N],Miu[N],p[5135],sum[N];
bool Not_Prime[N]; 

void Pre()
{
    Miu[1]=sum[1]=1;
    for(int i=2;iif(!Not_Prime[i]) p[++p[0]]=i,Miu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]1;
            if(i%p[j]==0) break;
            Miu[i*p[j]]=-Miu[i];
        }
        sum[i]=sum[i-1]+Miu[i];
    }
    for(int i=1;iint Next;
        for(int j=1;j<=i;j=Next+1)
        {
            Next=i/(i/j);
            f[i]+=(Next-j+1)*(i/j);
        }
    }
}

void Solve()
{
    if(n>m) swap(n,m);
    int Next;ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i=Next+1)
    {
        Next=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=1LL*(sum[Next]-sum[i-1])*f[n/i]*f[m/i];
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
    Pre();
    T=read();
    while(T--)
    {
        n=read(),m=read();
        Solve();
    }
    return 0;
}