P3327 [SDOI2015]约数个数和（推公式）

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题意：给定n、m，求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}d(ij)$

推导：
1、有个结论：$d(ij)={\sum }_{x|i}{\sum }_{y|j}[gcd(x,y)=1]$
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}d(ij)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)=1]$$

2、枚举倍数
$$\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m\sum _{x|i}^n\sum _{y|j}^m[gcd(x,y)=1]$$

3、化简并且利用莫比乌斯函数的性质换元
$$\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \lfloor \frac{m}{x}\rfloor \sum _{d|gcd(x,y)}\mu (d)$$

4、枚举d，并且设n $$\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \lfloor \frac{m}{x}\rfloor \sum _{d=1}^n\mu (d)[d|x且d|y]$$

5、仔细观察这个式子，其实是可以再继续化简的，$[d|x]、[d|y]$中枚举的是d倍数，因此可以化简为：
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{x=1}^n\lfloor \frac{n}{x}\rfloor [d|x]\sum _{y=1}^m\lfloor \frac{m}{x}\rfloor [d|y]$$

$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\lfloor \frac{n}{di}\rfloor \sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\lfloor \frac{m}{dj}\rfloor$$

6、然后我们设 $f(x)={\sum }_{i=1}^x\lfloor \frac{x}{i}\rfloor$，原式就可以化简为
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)f(\frac{n}{d})f(\frac{m}{d})$$

7、同时$f(x)$恰好是[1,x]中每个数的约数的个数之和，因此可以线性筛处理d[i]，然后作前缀和即可

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxm=1e5+5;
const int mod=1e9+7,inf=0x7f7f7f7f;

const int N=5e4;
int visit[N+10],prime[N+10],cnt;
int mu[N+10],f[N+10],d[N+10],num[N+10];

void init()
{
	mu[1]=1,cnt=0,d[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i)
	{
		if(!visit[i])
			prime[++cnt]=i,num[i]=1,d[i]=2,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;++j)
		{
			visit[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				d[i*prime[j]]=d[i]/(num[i]+1)*(num[i]+2);
				num[i*prime[j]]=num[i]+1;
				break;
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			num[i*prime[j]]=1;
			d[i*prime[j]]=d[i]*2;
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;++i)
		mu[i]+=mu[i-1],f[i]=f[i-1]+d[i];
}

int t,n,m; 

int main()
{
	init();
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(n>m) 
			swap(n,m);		
		int l=1,r;
		ll ans=0;
		while(l<=n)
		{
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			ans+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*f[n/l]*f[m/l];
			l=r+1;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}