机器学习实战——第六章（分类）：支持向量机SVM
前言
首先感谢博主：Jack-Cui
主页：http://blog.csdn.net/c406495762
支持向量机博文地址：
https://blog.csdn.net/c406495762/article/details/78072313
https://blog.csdn.net/c406495762/article/details/78158354
这一章在我看来可以说很难了，数学方面的东西还是有点难理解，代码方面也是，硬着头皮看完了。公式没进行推导了，直接对照着书的结论。具体推导可以参考上面博主提供的两篇博文。
1.什么是支持向量机（SVM）
支持向量机是监督学习的一种，常用来将数据进行二元分类。
1.1 举例说明
支持向量机分类的方法就是希望能够找到数据集中离分隔超平面最近的点，确保他们离分隔面的距离（分类间隔）尽可能的远。那个具有最大间隔的分隔超平面就是SVM要寻找的最优解。
例如在二维数据集下：
我们说实线A就是分隔超平面，是一条直线，但是如果是N维的话，那么就是一个N-1维来进行分隔。
当然，在分隔超平面的一侧是一个类别，另一侧是另一个类别。
支持向量就是离分隔超平面最近的那些点，接下来要试着最大化支持向量到分隔面的距离，需要找到此问题的优化求解方法。
2.线性SVM
2.1 寻找最大间隔
如上图，数据集的分隔超平面是一条直线，所以可以写成y=kx+b的形式，将公式向量化得到如下式子，分隔超平面的形式可以写成如下：
一般要计算一个点到直线的距离我们可以用：
同理，我们要计算一个点到分隔超平面的距离就用如下式子：
2.1.1 分类器求解的优化问题
我们已经得到了目标函数的数学形式。
前面已经提到了分类器，但还没有介绍工作原理。理解其工作原理有助于理解基于优化问题的分类器求解过程。
我们使用一个类似单位阶跃函数的函数对wT * x+b作用得到f(wT * x+b),令wT * x+b = u，所以f(u)当u<0时输出-1，当u>0时，输出+1。
类别标签采用±1的原因是他们仅差一个符号，方便数学处理。而且我们可以用一个统一公式来表示数据点到分隔超平面的距离。可以通过**Label * (wT * x+b)**来计算，这样就能体现出±1的好处。
如果数据点处于正方向（+1类），并且离分隔超平面很远的位置时，wT * x+b会是一个很大的正数，同时Label * (wT * x+b)也是一个很大的正数。如果数据点处于负方向（-1类），并且离分隔超平面很远的位置时，此时由于类别标签为-1，则Label * (wT * x+b)也是一个很大的正数。
现在的目标就是找出分类器定义中的w和b。为此，我们必须先找到具有最小间隔的数据点，也就是支持向量。找到之后，就需要对该间隔最大化。式子就可以写成：
所有支持向量的Label * (wT * x+b)都为1，那么式子就可以通过
进行求解，因为我们只关心支持向量上的点，也就是求该式的最大值来得到最终解。
很明显，如果要满足支持向量的Label * (wT * x+b)都为1，必须有约束条件：
Label * (wT * x+b)≥1
也就是最小都为1。
对于这类优化问题，有一个非常著名的求解方法，即拉格朗日乘子法，通过引入拉格朗日乘子，我们就可以基于约束条件来表述原来的问题。由于这里的约束条件都是基于数据点的，因此我们就可以将超平面写成数据点的形式。于是优化目标函数最后可以写成：
其约束条件为：
但在这里有个假设：数据必须100%线性可分。目前为止，我们知道几乎所有数据都不是那么完美。这时我们可以通过引入所谓松弛变量，来允许有些数据点可以处于分隔面错误的一侧，这样我们的优化目标就能保持仍然不变，但约束条件变为：
这里的常数C用于控制以下两个目标的权重：
- 最大化间隔
- 保证大部分点的函数间隔小于1.0
在代码中，常数c是一个参数，因此我们就可以通过调节该参数得到不同的结果。一旦求出了所有的alpha，那么分隔超平面就可以通过这些alpha来表达。这一结论十分直接，SVM中的主要工作就是求解这些alpha。
2.2 SMO高效优化算法
现在，我们已经得到了可以用SMO算法求解的目标函数，但是对于怎么编程实现SMO算法还是感觉无从下手。下面就来了解一下如何使用SMO算法进行求解。
2.2.1 Platt的SMO算法
1996年，John Platt发布了一个称为SMO的强大算法，用于训练SVM。SM表示序列最小化。Platt的SMO算法是将大优化问题分解为多个小优化问题来求解的。这些小优化问题往往很容易求解，并且对它们进行顺序求解的结果与将它们作为整体来求解的结果完全一致的。在结果完全相同的同时，SMO算法的求解时间短很多。
SMO算法的目标是求出一系列alpha和b，一旦求出了这些alpha，就很容易计算出权重向量w并得到分隔超平面。
SMO算法的工作原理是：每次循环中选择两个alpha进行优化处理。一旦找到了一对合适的alpha，那么就增大其中一个同时减小另一个。这里所谓的"合适"就是指两个alpha必须符合以下两个条件，条件之一就是两个alpha必须要在间隔边界之外，而且第二个条件则是这两个alpha还没有进进行过区间化处理或者不在边界上。
2.2.2 SMO算法步骤
- 步骤1：计算误差
- 步骤2：计算上下界L和H
- 步骤3：计算η
- 步骤4：更新αj
- 步骤5：根据取值范围修剪αj
- 步骤6：更新αi
- 步骤7：更新b1和b2
- 步骤8：根据b1和b2更新b
2.3 应用简化版SMO算法处理小规模数据集
Platt SMO算法的完整实现需要大量代码。接下来的案例中，我们将会对算法进行简化处理，以便了解算法的基本工作思路，之后再基于简化版给出完整版。简化版代码虽然量少，其执行速度也是比较慢的。
Platt SMO算法中的外循环确定要优化的最佳alpha对。而简化版却会跳过这一部分，首先在数据集上遍历每一个alpha，然后在剩下的alpha集合中随机选择另一个alpha，从而构建alpha对。这里有一点相当重要，就是我们要同时改变两个alpha，之所以这样做是因为我们有一个约束条件：
由于改变一个alpha可能会导致该约束条件失效，因此总是改变两个alpha。
2.3.1 编写代码
代码如下：
# -*- coding:UTF-8 -*-
from time import sleep
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random
import types
"""
函数说明:读取数据
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
"""
def loadDataSet(fileName):
dataMat = []; labelMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines(): #逐行读取，滤除空格等
lineArr = line.strip().split('\t')
dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(float(lineArr[2])) #添加标签
return dataMat,labelMat
"""
函数说明:随机选择alpha
Parameters:
i - alpha
m - alpha参数个数
Returns:
j -
"""
def selectJrand(i, m):
j = i #选择一个不等于i的j
while (j == i):
j = int(random.uniform(0, m))
return j
"""
函数说明:修剪alpha
Parameters:
aj - alpha值
H - alpha上限
L - alpha下限
Returns:
aj - alpah值
"""
def clipAlpha(aj,H,L):
if aj > H:
aj = H
if L > aj:
aj = L
return aj
"""
函数说明:简化版SMO算法
Parameters:
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
maxIter - 最大迭代次数
"""
def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
#转换为numpy的mat存储
dataMatrix = np.mat(dataMatIn); labelMat = np.mat(classLabels).transpose()
#初始化b参数，统计dataMatrix的维度
b = 0; m,n = np.shape(dataMatrix)
#初始化alpha参数，设为0
alphas = np.mat(np.zeros((m,1)))
#初始化迭代次数
iter_num = 0
#最多迭代matIter次
while (iter_num < maxIter):
alphaPairsChanged = 0
for i in range(m):
#步骤1：计算误差Ei
fXi = float(np.multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b
Ei = fXi - float(labelMat[i])
#优化alpha，更设定一定的容错率。
if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
#随机选择另一个与alpha_i成对优化的alpha_j
j = selectJrand(i,m)
#步骤1：计算误差Ej
fXj = float(np.multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b
Ej = fXj - float(labelMat[j])
#保存更新前的aplpha值，使用深拷贝
alphaIold = alphas[i].copy(); alphaJold = alphas[j].copy();
#步骤2：计算上下界L和H
if (labelMat[i] != labelMat[j]):
L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
else:
L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
if L==H: print("L==H"); continue
#步骤3：计算eta
eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
if eta >= 0: print("eta>=0"); continue
#步骤4：更新alpha_j
alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
#步骤5：修剪alpha_j
alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)
if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print("alpha_j变化太小"); continue
#步骤6：更新alpha_i
alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])
#步骤7：更新b_1和b_2
b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T
b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
#步骤8：根据b_1和b_2更新b
if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1
elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2
else: b = (b1 + b2)/2.0
#统计优化次数
alphaPairsChanged += 1
#打印统计信息
print("第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter_num,i,alphaPairsChanged))
#更新迭代次数
if (alphaPairsChanged == 0): iter_num += 1
else: iter_num = 0
print("迭代次数: %d" % iter_num)
return b,alphas
"""
函数说明:分类结果可视化
Parameters:
dataMat - 数据矩阵
w - 直线法向量
b - 直线解决
"""
def showClassifer(dataMat, w, b):
#绘制样本点
data_plus = [] #正样本
data_minus = [] #负样本
for i in range(len(dataMat)):
if labelMat[i] > 0:
data_plus.append(dataMat[i])
else:
data_minus.append(dataMat[i])
data_plus_np = np.array(data_plus) #转换为numpy矩阵
data_minus_np = np.array(data_minus) #转换为numpy矩阵
plt.scatter(np.transpose(data_plus_np)[0], np.transpose(data_plus_np)[1], s=30, alpha=0.7) #正样本散点图
plt.scatter(np.transpose(data_minus_np)[0], np.transpose(data_minus_np)[1], s=30, alpha=0.7) #负样本散点图
#绘制直线
x1 = max(dataMat)[0]
x2 = min(dataMat)[0]
a1, a2 = w
b = float(b)
a1 = float(a1[0])
a2 = float(a2[0])
y1, y2 = (-b- a1*x1)/a2, (-b - a1*x2)/a2
plt.plot([x1, x2], [y1, y2])
#找出支持向量点
for i, alpha in enumerate(alphas):
if abs(alpha) > 0:
x, y = dataMat[i]
plt.scatter([x], [y], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=1.5, edgecolor='red')
plt.show()
"""
函数说明:计算w
Parameters:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
alphas - alphas值
"""
def get_w(dataMat, labelMat, alphas):
alphas, dataMat, labelMat = np.array(alphas), np.array(dataMat), np.array(labelMat)
w = np.dot((np.tile(labelMat.reshape(1, -1).T, (1, 2)) * dataMat).T, alphas)
return w.tolist()
if __name__ == '__main__':
dataMat, labelMat = loadDataSet('testSet.txt')
b,alphas = smoSimple(dataMat, labelMat, 0.6, 0.001, 40)
w = get_w(dataMat, labelMat, alphas)
showClassifer(dataMat, w, b)
结果如下：
蓝色线为求解出来的分隔超平面，红色点圈出的为支持向量点。
2.4 完整版SMO算法
在几百个点组成的小规模数据集上，简化版SMO算法的运行是没有什么问题的，但是在更大的数据集上的运行速度就会变慢。简化版SMO算法的第二个α的选择是随机的，针对这一问题，我们可以使用启发式选择第二个α值，来达到优化效果。
2.4.1 启发式选择方式
下面这两个公式想必已经不再陌生：
在实现SMO算法的时候，先计算η，再更新a_j。
为了加快第二个α_ j乘子的迭代速度，需要让直线的斜率增大，对于α_j的更新公式，其中η值没有什么文章可做，于是只能令：
因此，我们可以明确自己的优化方法了：
- 最外层循环，首先在样本中选择违反KKT条件的一个乘子作为最外层循环，然后用"启发式选择"选择另外一个乘子并进行这两个乘子的优化
- 在非边界乘子中寻找使得|E_i - E_j|最大的样本
- 如果没有找到，则从整个样本中随机选择一个样本
2.4.2 完整版SMO算法
完整版Platt SMO算法是通过一个外循环来选择违反KKT条件的一个乘子，并且其选择过程会在这两种方式之间进行交替：
- 在所有数据集上进行单遍扫描
- 在非边界α中实现单遍扫描
非边界α指的就是那些不等于边界0或C的α值，并且跳过那些已知的不会改变的α值。所以我们要先建立这些α的列表，用于才能出α的更新状态。
在选择第一个α值后，算法会通过"启发选择方式"选择第二个α值。
2.4.3 编写代码
# -*-coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random
class optStruct:
"""
数据结构，维护所有需要操作的值
Parameters：
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
"""
def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler):
self.X = dataMatIn #数据矩阵
self.labelMat = classLabels #数据标签
self.C = C #松弛变量
self.tol = toler #容错率
self.m = np.shape(dataMatIn)[0] #数据矩阵行数
self.alphas = np.mat(np.zeros((self.m,1))) #根据矩阵行数初始化alpha参数为0
self.b = 0 #初始化b参数为0
self.eCache = np.mat(np.zeros((self.m,2))) #根据矩阵行数初始化虎误差缓存，第一列为是否有效的标志位，第二列为实际的误差E的值。
def loadDataSet(fileName):
"""
读取数据
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
"""
dataMat = []; labelMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines(): #逐行读取，滤除空格等
lineArr = line.strip().split('\t')
dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(float(lineArr[2])) #添加标签
return dataMat,labelMat
def calcEk(oS, k):
"""
计算误差
Parameters：
oS - 数据结构
k - 标号为k的数据
Returns:
Ek - 标号为k的数据误差
"""
fXk = float(np.multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*(oS.X*oS.X[k,:].T) + oS.b)
Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
return Ek
def selectJrand(i, m):
"""
函数说明:随机选择alpha_j的索引值
Parameters:
i - alpha_i的索引值
m - alpha参数个数
Returns:
j - alpha_j的索引值
"""
j = i #选择一个不等于i的j
while (j == i):
j = int(random.uniform(0, m))
return j
def selectJ(i, oS, Ei):
"""
内循环启发方式2
Parameters：
i - 标号为i的数据的索引值
oS - 数据结构
Ei - 标号为i的数据误差
Returns:
j, maxK - 标号为j或maxK的数据的索引值
Ej - 标号为j的数据误差
"""
maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0 #初始化
oS.eCache[i] = [1,Ei] #根据Ei更新误差缓存
validEcacheList = np.nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0] #返回误差不为0的数据的索引值
if (len(validEcacheList)) > 1: #有不为0的误差
for k in validEcacheList: #遍历,找到最大的Ek
if k == i: continue #不计算i,浪费时间
Ek = calcEk(oS, k) #计算Ek
deltaE = abs(Ei - Ek) #计算|Ei-Ek|
if (deltaE > maxDeltaE): #找到maxDeltaE
maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek
return maxK, Ej #返回maxK,Ej
else: #没有不为0的误差
j = selectJrand(i, oS.m) #随机选择alpha_j的索引值
Ej = calcEk(oS, j) #计算Ej
return j, Ej #j,Ej
def updateEk(oS, k):
"""
计算Ek,并更新误差缓存
Parameters：
oS - 数据结构
k - 标号为k的数据的索引值
Returns:
无
"""
Ek = calcEk(oS, k) #计算Ek
oS.eCache[k] = [1,Ek] #更新误差缓存
def clipAlpha(aj,H,L):
"""
修剪alpha_j
Parameters:
aj - alpha_j的值
H - alpha上限
L - alpha下限
Returns:
aj - 修剪后的alpah_j的值
"""
if aj > H:
aj = H
if L > aj:
aj = L
return aj
def innerL(i, oS):
"""
优化的SMO算法
Parameters：
i - 标号为i的数据的索引值
oS - 数据结构
Returns:
1 - 有任意一对alpha值发生变化
0 - 没有任意一对alpha值发生变化或变化太小
"""
#步骤1：计算误差Ei
Ei = calcEk(oS, i)
#优化alpha,设定一定的容错率。
if ((oS.labelMat[i] * Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i] * Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
#使用内循环启发方式2选择alpha_j,并计算Ej
j,Ej = selectJ(i, oS, Ei)
#保存更新前的aplpha值，使用深拷贝
alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
#步骤2：计算上下界L和H
if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
else:
L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
if L == H:
print("L==H")
return 0
#步骤3：计算eta
eta = 2.0 * oS.X[i,:] * oS.X[j,:].T - oS.X[i,:] * oS.X[i,:].T - oS.X[j,:] * oS.X[j,:].T
if eta >= 0:
print("eta>=0")
return 0
#步骤4：更新alpha_j
oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej)/eta
#步骤5：修剪alpha_j
oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
#更新Ej至误差缓存
updateEk(oS, j)
if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
print("alpha_j变化太小")
return 0
#步骤6：更新alpha_i
oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])
#更新Ei至误差缓存
updateEk(oS, i)
#步骤7：更新b_1和b_2
b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.X[i,:]*oS.X[i,:].T - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.X[i,:]*oS.X[j,:].T
b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.X[i,:]*oS.X[j,:].T - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.X[j,:]*oS.X[j,:].T
#步骤8：根据b_1和b_2更新b
if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
return 1
else:
return 0
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
"""
完整的线性SMO算法
Parameters：
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
maxIter - 最大迭代次数
Returns:
oS.b - SMO算法计算的b
oS.alphas - SMO算法计算的alphas
"""
oS = optStruct(np.mat(dataMatIn), np.mat(classLabels).transpose(), C, toler) #初始化数据结构
iter = 0 #初始化当前迭代次数
entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)): #遍历整个数据集都alpha也没有更新或者超过最大迭代次数,则退出循环
alphaPairsChanged = 0
if entireSet: #遍历整个数据集
for i in range(oS.m):
alphaPairsChanged += innerL(i,oS) #使用优化的SMO算法
print("全样本遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
else: #遍历非边界值
nonBoundIs = np.nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0] #遍历不在边界0和C的alpha
for i in nonBoundIs:
alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
print("非边界遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
if entireSet: #遍历一次后改为非边界遍历
entireSet = False
elif (alphaPairsChanged == 0): #如果alpha没有更新,计算全样本遍历
entireSet = True
print("迭代次数: %d" % iter)
return oS.b,oS.alphas #返回SMO算法计算的b和alphas
def showClassifer(dataMat, classLabels, w, b):
"""
分类结果可视化
Parameters:
dataMat - 数据矩阵
w - 直线法向量
b - 直线解决
Returns:
无
"""
#绘制样本点
data_plus = [] #正样本
data_minus = [] #负样本
for i in range(len(dataMat)):
if classLabels[i] > 0:
data_plus.append(dataMat[i])
else:
data_minus.append(dataMat[i])
data_plus_np = np.array(data_plus) #转换为numpy矩阵
data_minus_np = np.array(data_minus) #转换为numpy矩阵
plt.scatter(np.transpose(data_plus_np)[0], np.transpose(data_plus_np)[1], s=30, alpha=0.7) #正样本散点图
plt.scatter(np.transpose(data_minus_np)[0], np.transpose(data_minus_np)[1], s=30, alpha=0.7) #负样本散点图
#绘制直线
x1 = max(dataMat)[0]
x2 = min(dataMat)[0]
a1, a2 = w
b = float(b)
a1 = float(a1[0])
a2 = float(a2[0])
y1, y2 = (-b- a1*x1)/a2, (-b - a1*x2)/a2
plt.plot([x1, x2], [y1, y2])
#找出支持向量点
for i, alpha in enumerate(alphas):
if abs(alpha) > 0:
x, y = dataMat[i]
plt.scatter([x], [y], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=1.5, edgecolor='red')
plt.show()
def calcWs(alphas,dataArr,classLabels):
"""
计算w
Parameters:
dataArr - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
alphas - alphas值
Returns:
w - 计算得到的w
"""
X = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(classLabels).transpose()
m,n = np.shape(X)
w = np.zeros((n,1))
for i in range(m):
w += np.multiply(alphas[i]*labelMat[i],X[i,:].T)
return w
if __name__ == '__main__':
dataArr, classLabels = loadDataSet('testSet.txt')
b, alphas = smoP(dataArr, classLabels, 0.6, 0.001, 40)
w = calcWs(alphas,dataArr, classLabels)
showClassifer(dataArr, classLabels, w, b)
结果如下：
完整版SMO算法的速度比简化版SMO算法的速度快6倍左右。
3.非线性SVM
我们已经了解到，SVM如何处理线性可分的情况，而对于非线性的情况，我们能否像线性情况一样，利用强大的工具来捕捉数据中的这种模式呢？答案是可以的，SVM的处理方式就是选择一个核函数。
接下来，我们就要使用一种称为核函数的工具将数据转换成易于分类器理解的形式。
3.1 利用核函数将数据映射到高维空间
假设现在的数据集不是线性可分的，数据集在平面上看起来像一个圆，我们当然不能直接用线性SVM进行分类。
核函数的做法是对数据集中的非线性数据进行某种形式的转换，从而得到某些新的变量来表示数据。在这种情况下，我们就更容易得到大于0或者小于0的测试结果。在这个例子中，我们将数据从一个特征空间转换到另一个特征空间。在新空间下，我们可以很容易利用已有工具对数据进行处理。通过这种映射会将低维空间映射到高维空间。
这种从某个特征空间到另一个特征空间的映射是通过核函数来实现的。
核函数它能把数据从某个很难处理的形式转换成另一个比较容易处理的形式。经过空间转换之后，我们就可以在高维空间中解决线性问题，这也就等价于在低维空间中解决非线性问题。
这也就是说建立非线性学习器分为两个步骤：
- 首先使用核函数，使用一个非线性映射将数据变换到一个特征空间F；
- 然后再特征空间使用线性学习器分类。
3.2 径向基核函数
径向基核函数是SVM中常用的一个核函数。
径向基函数是一个采用向量作为自变量的函数，能够基于向量距离，运算输出一个标量。这个距离可以是从<0,0>向量或者其他向量开始计算的距离。我们会使用径向基函数的高斯版本，具体公式为：
σ是用户自定义的用于确定到达率(reach)或者说函数值跌落到0的速度参数。上述高斯核函数将数据从原始空间映射到无穷维空间。
3.3 编写代码
# -*-coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random
class optStruct:
"""
数据结构，维护所有需要操作的值
Parameters：
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
kTup - 包含核函数信息的元组,第一个参数存放核函数类别，第二个参数存放必要的核函数需要用到的参数
"""
def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):
self.X = dataMatIn #数据矩阵
self.labelMat = classLabels #数据标签
self.C = C #松弛变量
self.tol = toler #容错率
self.m = np.shape(dataMatIn)[0] #数据矩阵行数
self.alphas = np.mat(np.zeros((self.m,1))) #根据矩阵行数初始化alpha参数为0
self.b = 0 #初始化b参数为0
self.eCache = np.mat(np.zeros((self.m,2))) #根据矩阵行数初始化虎误差缓存，第一列为是否有效的标志位，第二列为实际的误差E的值。
self.K = np.mat(np.zeros((self.m,self.m))) #初始化核K
for i in range(self.m): #计算所有数据的核K
self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)
def kernelTrans(X, A, kTup):
"""
通过核函数将数据转换更高维的空间
Parameters：
X - 数据矩阵
A - 单个数据的向量
kTup - 包含核函数信息的元组
Returns:
K - 计算的核K
"""
m,n = np.shape(X)
K = np.mat(np.zeros((m,1)))
if kTup[0] == 'lin': K = X * A.T #线性核函数,只进行内积。
elif kTup[0] == 'rbf': #高斯核函数,根据高斯核函数公式进行计算
for j in range(m):
deltaRow = X[j,:] - A
K[j] = deltaRow*deltaRow.T
K = np.exp(K/(-1*kTup[1]**2)) #计算高斯核K
else: raise NameError('核函数无法识别')
return K #返回计算的核K
def loadDataSet(fileName):
"""
读取数据
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
"""
dataMat = []; labelMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines(): #逐行读取，滤除空格等
lineArr = line.strip().split('\t')
dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(float(lineArr[2])) #添加标签
return dataMat,labelMat
def calcEk(oS, k):
"""
计算误差
Parameters：
oS - 数据结构
k - 标号为k的数据
Returns:
Ek - 标号为k的数据误差
"""
fXk = float(np.multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
return Ek
def selectJrand(i, m):
"""
函数说明:随机选择alpha_j的索引值
Parameters:
i - alpha_i的索引值
m - alpha参数个数
Returns:
j - alpha_j的索引值
"""
j = i #选择一个不等于i的j
while (j == i):
j = int(random.uniform(0, m))
return j
def selectJ(i, oS, Ei):
"""
内循环启发方式2
Parameters：
i - 标号为i的数据的索引值
oS - 数据结构
Ei - 标号为i的数据误差
Returns:
j, maxK - 标号为j或maxK的数据的索引值
Ej - 标号为j的数据误差
"""
maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0 #初始化
oS.eCache[i] = [1,Ei] #根据Ei更新误差缓存
validEcacheList = np.nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0] #返回误差不为0的数据的索引值
if (len(validEcacheList)) > 1: #有不为0的误差
for k in validEcacheList: #遍历,找到最大的Ek
if k == i: continue #不计算i,浪费时间
Ek = calcEk(oS, k) #计算Ek
deltaE = abs(Ei - Ek) #计算|Ei-Ek|
if (deltaE > maxDeltaE): #找到maxDeltaE
maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek
return maxK, Ej #返回maxK,Ej
else: #没有不为0的误差
j = selectJrand(i, oS.m) #随机选择alpha_j的索引值
Ej = calcEk(oS, j) #计算Ej
return j, Ej #j,Ej
def updateEk(oS, k):
"""
计算Ek,并更新误差缓存
Parameters：
oS - 数据结构
k - 标号为k的数据的索引值
Returns:
无
"""
Ek = calcEk(oS, k) #计算Ek
oS.eCache[k] = [1,Ek] #更新误差缓存
def clipAlpha(aj,H,L):
"""
修剪alpha_j
Parameters:
aj - alpha_j的值
H - alpha上限
L - alpha下限
Returns:
aj - 修剪后的alpah_j的值
"""
if aj > H:
aj = H
if L > aj:
aj = L
return aj
def innerL(i, oS):
"""
优化的SMO算法
Parameters：
i - 标号为i的数据的索引值
oS - 数据结构
Returns:
1 - 有任意一对alpha值发生变化
0 - 没有任意一对alpha值发生变化或变化太小
"""
#步骤1：计算误差Ei
Ei = calcEk(oS, i)
#优化alpha,设定一定的容错率。
if ((oS.labelMat[i] * Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i] * Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
#使用内循环启发方式2选择alpha_j,并计算Ej
j,Ej = selectJ(i, oS, Ei)
#保存更新前的aplpha值，使用深拷贝
alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
#步骤2：计算上下界L和H
if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
else:
L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
if L == H:
print("L==H")
return 0
#步骤3：计算eta
eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j]
if eta >= 0:
print("eta>=0")
return 0
#步骤4：更新alpha_j
oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej)/eta
#步骤5：修剪alpha_j
oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
#更新Ej至误差缓存
updateEk(oS, j)
if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
print("alpha_j变化太小")
return 0
#步骤6：更新alpha_i
oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])
#更新Ei至误差缓存
updateEk(oS, i)
#步骤7：更新b_1和b_2
b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
#步骤8：根据b_1和b_2更新b
if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
return 1
else:
return 0
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter, kTup = ('lin',0)):
"""
完整的线性SMO算法
Parameters：
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
maxIter - 最大迭代次数
kTup - 包含核函数信息的元组
Returns:
oS.b - SMO算法计算的b
oS.alphas - SMO算法计算的alphas
"""
oS = optStruct(np.mat(dataMatIn), np.mat(classLabels).transpose(), C, toler, kTup) #初始化数据结构
iter = 0 #初始化当前迭代次数
entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)): #遍历整个数据集都alpha也没有更新或者超过最大迭代次数,则退出循环
alphaPairsChanged = 0
if entireSet: #遍历整个数据集
for i in range(oS.m):
alphaPairsChanged += innerL(i,oS) #使用优化的SMO算法
print("全样本遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
else: #遍历非边界值
nonBoundIs = np.nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0] #遍历不在边界0和C的alpha
for i in nonBoundIs:
alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
print("非边界遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
if entireSet: #遍历一次后改为非边界遍历
entireSet = False
elif (alphaPairsChanged == 0): #如果alpha没有更新,计算全样本遍历
entireSet = True
print("迭代次数: %d" % iter)
return oS.b,oS.alphas #返回SMO算法计算的b和alphas
def testRbf(k1 = 1.3):
"""
测试函数
Parameters:
k1 - 使用高斯核函数的时候表示到达率
Returns:
无
"""
dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt') #加载训练集
b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 100, ('rbf', k1)) #根据训练集计算b和alphas
datMat = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(labelArr).transpose()
svInd = np.nonzero(alphas.A > 0)[0] #获得支持向量
sVs = datMat[svInd]
labelSV = labelMat[svInd];
print("支持向量个数:%d" % np.shape(sVs)[0])
m,n = np.shape(datMat)
errorCount = 0
for i in range(m):
kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1)) #计算各个点的核
predict = kernelEval.T * np.multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b #根据支持向量的点，计算超平面，返回预测结果
if np.sign(predict) != np.sign(labelArr[i]): errorCount += 1 #返回数组中各元素的正负符号，用1和-1表示，并统计错误个数
print("训练集错误率: %.2f%%" % ((float(errorCount)/m)*100)) #打印错误率
dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt') #加载测试集
errorCount = 0
datMat = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(labelArr).transpose()
m,n = np.shape(datMat)
for i in range(m):
kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1)) #计算各个点的核
predict=kernelEval.T * np.multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b #根据支持向量的点，计算超平面，返回预测结果
if np.sign(predict) != np.sign(labelArr[i]): errorCount += 1 #返回数组中各元素的正负符号，用1和-1表示，并统计错误个数
print("测试集错误率: %.2f%%" % ((float(errorCount)/m)*100)) #打印错误率
def showDataSet(dataMat, labelMat):
"""
数据可视化
Parameters:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
Returns:
无
"""
data_plus = [] #正样本
data_minus = [] #负样本
for i in range(len(dataMat)):
if labelMat[i] > 0:
data_plus.append(dataMat[i])
else:
data_minus.append(dataMat[i])
data_plus_np = np.array(data_plus) #转换为numpy矩阵
data_minus_np = np.array(data_minus) #转换为numpy矩阵
plt.scatter(np.transpose(data_plus_np)[0], np.transpose(data_plus_np)[1]) #正样本散点图
plt.scatter(np.transpose(data_minus_np)[0], np.transpose(data_minus_np)[1]) #负样本散点图
plt.show()
if __name__ == '__main__':
testRbf()
结果如下：
有时候错误率会不太稳定。
4.手写数字识别系统
4.1 SMO算法构建SVM分类器
# -*-coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np-
import random
class optStruct:
"""
数据结构，维护所有需要操作的值
Parameters：
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
kTup - 包含核函数信息的元组,第一个参数存放核函数类别，第二个参数存放必要的核函数需要用到的参数
"""
def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):
self.X = dataMatIn #数据矩阵
self.labelMat = classLabels #数据标签
self.C = C #松弛变量
self.tol = toler #容错率
self.m = np.shape(dataMatIn)[0] #数据矩阵行数
self.alphas = np.mat(np.zeros((self.m,1))) #根据矩阵行数初始化alpha参数为0
self.b = 0 #初始化b参数为0
self.eCache = np.mat(np.zeros((self.m,2))) #根据矩阵行数初始化虎误差缓存，第一列为是否有效的标志位，第二列为实际的误差E的值。
self.K = np.mat(np.zeros((self.m,self.m))) #初始化核K
for i in range(self.m): #计算所有数据的核K
self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)
def kernelTrans(X, A, kTup):
"""
通过核函数将数据转换更高维的空间
Parameters：
X - 数据矩阵
A - 单个数据的向量
kTup - 包含核函数信息的元组
Returns:
K - 计算的核K
"""
m,n = np.shape(X)
K = np.mat(np.zeros((m,1)))
if kTup[0] == 'lin': K = X * A.T #线性核函数,只进行内积。
elif kTup[0] == 'rbf': #高斯核函数,根据高斯核函数公式进行计算
for j in range(m):
deltaRow = X[j,:] - A
K[j] = deltaRow*deltaRow.T
K = np.exp(K/(-1*kTup[1]**2)) #计算高斯核K
else: raise NameError('核函数无法识别')
return K #返回计算的核K
def loadDataSet(fileName):
"""
读取数据
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
"""
dataMat = []; labelMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines(): #逐行读取，滤除空格等
lineArr = line.strip().split('\t')
dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(float(lineArr[2])) #添加标签
return dataMat,labelMat
def calcEk(oS, k):
"""
计算误差
Parameters：
oS - 数据结构
k - 标号为k的数据
Returns:
Ek - 标号为k的数据误差
"""
fXk = float(np.multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
return Ek
def selectJrand(i, m):
"""
函数说明:随机选择alpha_j的索引值
Parameters:
i - alpha_i的索引值
m - alpha参数个数
Returns:
j - alpha_j的索引值
"""
j = i #选择一个不等于i的j
while (j == i):
j = int(random.uniform(0, m))
return j
def selectJ(i, oS, Ei):
"""
内循环启发方式2
Parameters：
i - 标号为i的数据的索引值
oS - 数据结构
Ei - 标号为i的数据误差
Returns:
j, maxK - 标号为j或maxK的数据的索引值
Ej - 标号为j的数据误差
"""
maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0 #初始化
oS.eCache[i] = [1,Ei] #根据Ei更新误差缓存
validEcacheList = np.nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0] #返回误差不为0的数据的索引值
if (len(validEcacheList)) > 1: #有不为0的误差
for k in validEcacheList: #遍历,找到最大的Ek
if k == i: continue #不计算i,浪费时间
Ek = calcEk(oS, k) #计算Ek
deltaE = abs(Ei - Ek) #计算|Ei-Ek|
if (deltaE > maxDeltaE): #找到maxDeltaE
maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek
return maxK, Ej #返回maxK,Ej
else: #没有不为0的误差
j = selectJrand(i, oS.m) #随机选择alpha_j的索引值
Ej = calcEk(oS, j) #计算Ej
return j, Ej #j,Ej
def updateEk(oS, k):
"""
计算Ek,并更新误差缓存
Parameters：
oS - 数据结构
k - 标号为k的数据的索引值
Returns:
无
"""
Ek = calcEk(oS, k) #计算Ek
oS.eCache[k] = [1,Ek] #更新误差缓存
def clipAlpha(aj,H,L):
"""
修剪alpha_j
Parameters:
aj - alpha_j的值
H - alpha上限
L - alpha下限
Returns:
aj - 修剪后的alpah_j的值
"""
if aj > H:
aj = H
if L > aj:
aj = L
return aj
def innerL(i, oS):
"""
优化的SMO算法
Parameters：
i - 标号为i的数据的索引值
oS - 数据结构
Returns:
1 - 有任意一对alpha值发生变化
0 - 没有任意一对alpha值发生变化或变化太小
"""
#步骤1：计算误差Ei
Ei = calcEk(oS, i)
#优化alpha,设定一定的容错率。
if ((oS.labelMat[i] * Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i] * Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
#使用内循环启发方式2选择alpha_j,并计算Ej
j,Ej = selectJ(i, oS, Ei)
#保存更新前的aplpha值，使用深拷贝
alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
#步骤2：计算上下界L和H
if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
else:
L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
if L == H:
print("L==H")
return 0
#步骤3：计算eta
eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j]
if eta >= 0:
print("eta>=0")
return 0
#步骤4：更新alpha_j
oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej)/eta
#步骤5：修剪alpha_j
oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
#更新Ej至误差缓存
updateEk(oS, j)
if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
print("alpha_j变化太小")
return 0
#步骤6：更新alpha_i
oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])
#更新Ei至误差缓存
updateEk(oS, i)
#步骤7：更新b_1和b_2
b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
#步骤8：根据b_1和b_2更新b
if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
return 1
else:
return 0
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter, kTup = ('lin',0)):
"""
完整的线性SMO算法
Parameters：
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
maxIter - 最大迭代次数
kTup - 包含核函数信息的元组
Returns:
oS.b - SMO算法计算的b
oS.alphas - SMO算法计算的alphas
"""
oS = optStruct(np.mat(dataMatIn), np.mat(classLabels).transpose(), C, toler, kTup) #初始化数据结构
iter = 0 #初始化当前迭代次数
entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)): #遍历整个数据集都alpha也没有更新或者超过最大迭代次数,则退出循环
alphaPairsChanged = 0
if entireSet: #遍历整个数据集
for i in range(oS.m):
alphaPairsChanged += innerL(i,oS) #使用优化的SMO算法
print("全样本遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
else: #遍历非边界值
nonBoundIs = np.nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0] #遍历不在边界0和C的alpha
for i in nonBoundIs:
alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
print("非边界遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
if entireSet: #遍历一次后改为非边界遍历
entireSet = False
elif (alphaPairsChanged == 0): #如果alpha没有更新,计算全样本遍历
entireSet = True
print("迭代次数: %d" % iter)
return oS.b,oS.alphas #返回SMO算法计算的b和alphas
def img2vector(filename):
"""
将32x32的二进制图像转换为1x1024向量。
Parameters:
filename - 文件名
Returns:
returnVect - 返回的二进制图像的1x1024向量
"""
returnVect = np.zeros((1,1024))
fr = open(filename)
for i in range(32):
lineStr = fr.readline()
for j in range(32):
returnVect[0,32*i+j] = int(lineStr[j])
return returnVect
def loadImages(dirName):
"""
加载图片
Parameters:
dirName - 文件夹的名字
Returns:
trainingMat - 数据矩阵
hwLabels - 数据标签
"""
from os import listdir
hwLabels = []
trainingFileList = listdir(dirName)
m = len(trainingFileList)
trainingMat = np.zeros((m,1024))
for i in range(m):
fileNameStr = trainingFileList[i]
fileStr = fileNameStr.split('.')[0]
classNumStr = int(fileStr.split('_')[0])
if classNumStr == 9: hwLabels.append(-1)
else: hwLabels.append(1)
trainingMat[i,:] = img2vector('%s/%s' % (dirName, fileNameStr))
return trainingMat, hwLabels
def testDigits(kTup=('rbf', 10)):
"""
测试函数
Parameters:
kTup - 包含核函数信息的元组
Returns:
无
"""
dataArr,labelArr = loadImages('trainingDigits')
b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10, kTup)
datMat = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(labelArr).transpose()
svInd = np.nonzero(alphas.A>0)[0]
sVs=datMat[svInd]
labelSV = labelMat[svInd];
print("支持向量个数:%d" % np.shape(sVs)[0])
m,n = np.shape(datMat)
errorCount = 0
for i in range(m):
kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],kTup)
predict=kernelEval.T * np.multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
if np.sign(predict) != np.sign(labelArr[i]): errorCount += 1
print("训练集错误率: %.2f%%" % (float(errorCount)/m))
dataArr,labelArr = loadImages('testDigits')
errorCount = 0
datMat = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(labelArr).transpose()
m,n = np.shape(datMat)
for i in range(m):
kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],kTup)
predict=kernelEval.T * np.multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
if np.sign(predict) != np.sign(labelArr[i]): errorCount += 1
print("测试集错误率: %.2f%%" % (float(errorCount)/m))
if __name__ == '__main__':
testDigits()
结果如下：
可以看出，错误率是非常低的。
但代码运行的时间是比较长的，用了好几分钟，但是他的错误率是非常非常低的。
接下来我们使用Python的库进行支持向量机分类器的构建。
4.2 Sklearn.svm.SVC手写数字识别分类器
SVC很是强大，我们不用理解算法实现的具体细节，不用理解算法的优化方法。同时，它也满足我们的多分类需求。
代码如下：
# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
import operator
from os import listdir
from sklearn.svm import SVC
"""
Author:
Jack Cui
Blog:
http://blog.csdn.net/c406495762
Zhihu:
https://www.zhihu.com/people/Jack--Cui/
Modify:
2017-10-04
"""
def img2vector(filename):
"""
将32x32的二进制图像转换为1x1024向量。
Parameters:
filename - 文件名
Returns:
returnVect - 返回的二进制图像的1x1024向量
"""
#创建1x1024零向量
returnVect = np.zeros((1, 1024))
#打开文件
fr = open(filename)
#按行读取
for i in range(32):
#读一行数据
lineStr = fr.readline()
#每一行的前32个元素依次添加到returnVect中
for j in range(32):
returnVect[0, 32*i+j] = int(lineStr[j])
#返回转换后的1x1024向量
return returnVect
def handwritingClassTest():
"""
手写数字分类测试
Parameters:
无
Returns:
无
"""
#测试集的Labels
hwLabels = []
#返回trainingDigits目录下的文件名
trainingFileList = listdir('trainingDigits')
#返回文件夹下文件的个数
m = len(trainingFileList)
#初始化训练的Mat矩阵,测试集
trainingMat = np.zeros((m, 1024))
#从文件名中解析出训练集的类别
for i in range(m):
#获得文件的名字
fileNameStr = trainingFileList[i]
#获得分类的数字
classNumber = int(fileNameStr.split('_')[0])
#将获得的类别添加到hwLabels中
hwLabels.append(classNumber)
#将每一个文件的1x1024数据存储到trainingMat矩阵中
trainingMat[i,:] = img2vector('trainingDigits/%s' % (fileNameStr))
clf = SVC(C=200,kernel='rbf')
clf.fit(trainingMat,hwLabels)
#返回testDigits目录下的文件列表
testFileList = listdir('testDigits')
#错误检测计数
errorCount = 0.0
#测试数据的数量
mTest = len(testFileList)
#从文件中解析出测试集的类别并进行分类测试
for i in range(mTest):
#获得文件的名字
fileNameStr = testFileList[i]
#获得分类的数字
classNumber = int(fileNameStr.split('_')[0])
#获得测试集的1x1024向量,用于训练
vectorUnderTest = img2vector('testDigits/%s' % (fileNameStr))
#获得预测结果
# classifierResult = classify0(vectorUnderTest, trainingMat, hwLabels, 3)
classifierResult = clf.predict(vectorUnderTest)
print("分类返回结果为%d\t真实结果为%d" % (classifierResult, classNumber))
if(classifierResult != classNumber):
errorCount += 1.0
print("总共错了%d个数据\n错误率为%f%%" % (errorCount, errorCount/mTest * 100))
if __name__ == '__main__':
handwritingClassTest()
结果如下所示：
很明显速度提升了非常多，二十秒左右即可完成，且错误率非常低。