欧拉公式

前置技能:

复数

复数 x=a+bi x = a + b i ,其中 a a 和 b b 是实数， i i 是虚数单位。在复数 a+bi a + b i 中， a=Re(x) a = R e ( x ) 称为实部， b=Im(x) b = I m ( x ) 称为虚部。
计算上 i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1,i5=i... i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = − 1 , i 3 = − i , i 4 = 1 , i 5 = i . . .
(x+yi)∗(z+wi)=(xz−yw)+(xw+yz)i ( x + y i ) ∗ ( z + w i ) = ( x z − y w ) + ( x w + y z ) i

复平面

对于每一个复数 x=a+bi x = a + b i 表示 (0,0) ( 0 , 0 ) 指向 (a,b) ( a , b ) 的一个向量。
其中，a表示的是复平面内的横坐标，b表示的是复平面内的纵坐标。表示实数a的点都在x轴上，所以x轴又称为”实轴”;表示纯虚数b的点都在y轴上，所以y轴又称为”虚轴”。

复平面上单位圆上的点可以用 cosθ+i⋅sinθ c o s θ + i ⋅ s i n θ 表示

半径为 r r 的圆上的点可以用 R(cosθ+i⋅sinθ) R ( c o s θ + i ⋅ s i n θ ) 表示
有公式为 R(cosθ+i⋅sinθ)=elogR+iθ R ( c o s θ + i ⋅ s i n θ ) = e l o g R + i θ

那么对于复数的乘法，可以这样理解
R1(cosθ1+isinθ1)∗R2(cosθ2+isinθ)=elogR1+logR2+i(θ1+θ2) R 1 ( c o s θ 1 + i s i n θ 1 ) ∗ R 2 ( c o s θ 2 + i s i n θ ) = e l o g R 1 + l o g R 2 + i ( θ 1 + θ 2 )

泰勒展开

详情可以看我的博客qaq

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欧拉公式

由前置姿势，我们知道

sin(x)cos(x)ex=x1!−x33!+x55!−...+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=1−x22!+x44!−...+(−1)nx2n(2n)!=1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+Rn s i n ( x ) = x 1 ! − x 3 3 ! + x 5 5 ! − . . . + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! c o s ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − . . . + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . + x n n ! + R n

将第三个式子带入 x=iθ x = i θ ，经变换可以得到 eiθ=cosθ+i⋅sinθ e i θ = c o s θ + i ⋅ s i n θ

这个就是欧拉公式！

其中，将 θ θ 换成 −θ − θ ，可以得到 e−iθ=cosθ−i⋅sinθ e − i θ = c o s θ − i ⋅ s i n θ
两式相加、相减可以得到 cosθ=eiθ+e−iθ2 c o s θ = e i θ + e − i θ 2 , sinθ=eiθ−e−iθ2 s i n θ = e i θ − e − i θ 2

在欧拉公式中带入 θ=π θ = π ，可以得到 eiπ=cosπ+isinπ=−1 e i π = c o s π + i s i n π = − 1 ，也就是 eiπ+1=0 e i π + 1 = 0
这个也就是欧拉恒等式啦！