高等数学一极限与连续

基本初等函数及其定义域

• 反函数:不是所有的函数在其定义域内都存在反函数,只有单调函数才存在反函数.
• 基本初等函数及定义域
  常值函数y=c,其定义域为(-∞,＋∞),值域为单点集{c}.
  幂函数y=x^u(u为常数),定义域随着u的不同而不同,图像也随着u的不同而有不同的形状.
  指数函数y=a^x(a>0, a≠1),其定义域是(-∞,＋∞),值域为(0,＋∞),根据a的取值范围不同,指数函数的单调性不同.
  对数函数y=㏒a^x(a>0,a≠1),它是指数函数的反函数,其定义域为(0,+∞),且单调性也随着a的取值范围不同而有所不同.
  三角函数y=sinx、y=cosx,其定义域为(-∞,＋∞)，值域为[-1,1].而y=tanx定义域为{x|x≠kπ+2/π，k∈Z};y=cotx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z};它们的值域都是(-∞,＋∞)。此外三角函数还有y=secx、y=cscx,它们都是以2π为周期的周期函数。
  反三角函数是将三角函数的定义域限制在一定的范围内，求得的三角函数的反函数。如反正弦函数y=arcsinx定义域为 [-1,1],值域为[-2/π，2/π];反余弦函数y=arccosx的定义域为[-1,1]，值域[0，π];反正切函数y=arctanx的定义域的(-∞,＋∞),值域为[-2/π，2/π]；反余切函数y=arccotx的定义域为(-∞,＋∞)，值域为（0，π）。

无穷小的性质

• 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。
• 有限个无穷小之积仍为无穷小。
• 有界函数与无穷小之积为无穷小。
• 无穷小量除以有极限且极限不零的变量，其商仍为无穷小量。
• 常数中只有零可以看做无穷小。
• 常用等价无穷小代换有：
  当x->0时，x~ sinx ~ln(1+x) ~arcsinx ~ arctanx ~ e^x - 1 ~ tanx, 1 - cosx ~ 1/2x²,(1 + x)^a - 1 ~ ax(a为实常数，a≠0)

函数极限的几种类型

1. 极限为0/0型时的计算
   （1）因式分解后消去零因子，此种方法多用于分子都为多项式的情况。
   （2）若待求极限的函数中含有形如a±√b或√a±√b的式子，可考虑有理化，以达到消去零因子的目的。
   （3）函数中含有正弦函数或隐含有正弦函数（即稍作变化可出现正弦函数）时，可考虑使用重要极限sinx/x = 1.
   （4）做等价无穷小代换。
2. 极限∞/∞型的计算
3. 极限为∞﹣∞型时的计算
   这类题型的解法一般有两种选择：1.先做同分，变为0/0型或∞/∞型。 2若函数含有根式、考虑根式有理化。
4. 极限为1∞型时计算
   无论自变量做怎样的变化，只要极限为1∞型时，都可以考虑利用重要极限（1+1/x)^x = e,利用时关键在把底与指数用配项的办法把函数化为公式的形式。
5. 极限为0*∞型时的计算
6. 无穷小与有界函数乘机极限的计算
   利用"无穷小与有界函数之积仍为无穷小"进行计算。
7. 分段函数在分段点处极限的计算
   注意所给函数在分段点两侧的表达式是否相同，若相同，则直接求极限，如果在分段点的两侧不同，则应该利用左极限和右极限来判定。