题目来源:力扣(LeetCode)https://leetcode-cn.com/problems/house-robber-iii
在上次打劫完一条街道之后和一圈房屋后,小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口,我们称之为“根”。 除了“根”之外,每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后,聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫,房屋将自动报警。
计算在不触动警报的情况下,小偷一晚能够盗取的最高金额。
示例 1:
输入: [3,2,3,null,3,null,1]
3
/ \
2 3
\ \
3 1
输出: 7
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 = 3 + 3 + 1 = 7.
示例 2:
输入: [3,4,5,1,3,null,1]
3
/ \
4 5
/ \ \
1 3 1
输出: 9
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 = 4 + 5 = 9.
这道题是 【198. 打家劫舍】、【213. 打家劫舍 II】 的后续
在这道题当中,偷窃的对象不再是一条街或者围成圈的房屋。而是看似二叉树排布的房屋。在这里,我们会用动态规划的方法来解决。
不过在此之前,我们先看题目,【如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫,房屋将自动报警】,这里的意思是,不能够偷窃相连的两个节点,也就是不能同时偷窃属于父子关系的节点。
题目给定的二叉树中,节点上的权值也就是要偷窃的金额,按照上面的条件,也就是说,每个节点都有两种状态:已偷取、未偷取。由于不能同时偷窃属于父子关系的节点,求该条件限定下,能偷取的金额最大值为多少。
在这里,我们先用递归的方法来解决,这里根据上面的分析,分情况来讨论,具体思路如下(基于三层的二叉树描述):
那么,大致的代码如下:
# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.left = None
# self.right = None
class Solution:
def rob(self, root: TreeNode) -> int:
if not root:
return 0
# 分情况
# 偷窃根节点 与 不偷窃根节点
in_root = root.val
if root.left:
# 偷窃根节点时,无法偷取子节点,那么偷窃子孙节点
in_root += self.rob(root.left.left) +self. rob(root.left.right)
if root.right:
in_root += self.rob(root.right.left) +self. rob(root.right.right)
# 不偷取根节点,那么收益就是左右子节点权值的总和
not_in_root = self.rob(root.left) + self.rob(root.right)
# 返回大值
return max(in_root, not_in_root)
上面这段代码执行后超时,因为在计算子孙节点的时候,计算了根节点下的左右子树,而后续计算又重复计算了子孙节点。在这里,我们来进行优化,将计算后的结果存储到哈希表中,遇到需要重复计算的部分,直接拿过来,不需要再次递归计算。
优化后代码见【代码实现 # 递归(优化)】
从上面递归的方法中,我们可以发现,最终最大收益为 in_root 和 not_in_root 的最大值。
也就是说,每个子树都有最优解:偷窃根节点 和 不偷窃根节点下的最优解。
我们重新定义这个问题,每个节点可以选择偷或者不偷,那么相连节点不能一起偷,那么:
定义数组存储两个状态,索引 0 表示不偷,索引 1 表示偷。那么每个节点能偷到最大金额可定义为:
那么相应的转移公式为:
# 当前节点不偷
ans[0] = max(rob(root.left)[0], rob(root.left)[1])
+ max(rob(root.right)[0], rob(root.right)[1])
# 当前节点选择偷
ans[1] = rob(root.left)[0] + rob(root.right)[0] + root.val
具体代码见【代码实现 # 动态规划】
# 递归(优化)
# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.left = None
# self.right = None
class Solution:
def rob(self, root: TreeNode) -> int:
# 存储计算过的结果
hash_map = {}
def helper(root):
if not root:
return 0
# 如果存在于哈希表中,直接拿过来用
if root in hash_map:
return hash_map[root]
in_root = root.val
if root.left:
# 偷窃根节点时,无法偷取子节点,那么偷窃子孙节点
in_root += helper(root.left.left) +helper(root.left.right)
if root.right:
in_root += helper(root.right.left) +helper(root.right.right)
# 不偷取根节点,那么收益就是左右子节点权值的总和
not_in_root = helper(root.left) + helper(root.right)
ans = max(in_root, not_in_root)
# 这里计算完之后,将结果存入哈希表中
hash_map[root] = ans
return ans
return helper(root)
# 动态规划
# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.left = None
# self.right = None
class Solution:
def rob(self, root: TreeNode) -> int:
def helper(root):
if not root:
return [0, 0]
ans = [0, 0]
left = helper(root.left)
right = helper(root.right)
# 两个索引对应两种状态,索引 0 表示不偷,索引 1 表示偷
ans[0] = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1])
ans[1] = left[0] + right[0] + root.val
return ans
ans = helper(root)
return max(ans[0], ans[1])
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