回归模型-评估指标

一、多元线性回归

多元线性回归示例：

y=b+a1∗x1+a2∗x2+⋅⋅⋅+an∗xn y = b + a 1 ∗ x 1 + a 2 ∗ x 2 + · · · + a n ∗ x n

房价预测案例：
多重共线性（Multicollinearty）:
    是指线性回归模型中的 解释变量（X）之间
    由于存在高度相关关系而使模型估计失真或难以估计准确
多重共线性的影响:
    上述模型参数（$a_1,a_2...$）估值不准，有时候会导致出现相关性反转。

如何发现多重共线性
    对X变量探索两两之间的相关性（相关矩阵）

逐步回归概念是一种多元回归模型进行变量筛选的方法，筛选最少的变量来获取最大化预测能力
三种方法：
    向前选择法
    向后剔除法
    逐步回归法

二、正则化防止过拟合

L2正则化–岭回归 Ridge Regression

min∑i=1n(Yi−Yi^)=min∑i=1nε^2i m i n ∑ i = 1 n ( Y i − Y i ^ ) = m i n ∑ i = 1 n ε ^ i 2

在最小化残差平方和的基础上，增加L2范数的惩罚项：

∑i=1n(yi−β0−∑j=1pβjxij)2+λ∑j=1pβ2j=RSS+λ∑j=1pβ2j ∑ i = 1 n ( y i − β 0 − ∑ j = 1 p β j x i j ) 2 + λ ∑ j = 1 p β j 2 = R S S + λ ∑ j = 1 p β j 2

L1正则化–lasso回归

min∑i=1n(Yi−Yi^)=min∑i=1nε^2i m i n ∑ i = 1 n ( Y i − Y i ^ ) = m i n ∑ i = 1 n ε ^ i 2

在最小化残差平方和的基础上，增加L1范数的惩罚项：

∑i=1n(yi−β0−∑j=1pβjxij)2+λ∑j=1p|βj|=RSS+λ∑j=1p|βj| ∑ i = 1 n ( y i − β 0 − ∑ j = 1 p β j x i j ) 2 + λ ∑ j = 1 p | β j | = R S S + λ ∑ j = 1 p | β j |

三、非线性回归：多项式回归

方法：

非线性回归的转换——取对数

多项式回归代码实现：
sklearn.preprocession.PolynomialFeatures(
                degree = 2,              #阶数
                interaction_only = False,
                include_bias = True
               ) 

sklearn.linear_model.LinearRegression(
                fit_intercept = True,
                noemalize = False,
                copy_X = True
                )

3.1 回归模型评估指标

解释方差（Explianed variance score）：

Explianed_variance(y,y^)=1−Var{y−y^}Var{y} E x p l i a n e d _ v a r i a n c e ( y , y ^ ) = 1 − V a r { y − y ^ } V a r { y }

绝对平均误差（Mean absolute error）：

MAE(y,y^)=1nsamplies∑i=0nsamplies−1|yi−y^| M A E ( y , y ^ ) = 1 n s a m p l i e s ∑ i = 0 n s a m p l i e s − 1 | y i − y ^ |

均方误差（Mean squared error）：

MSE(y,y^)=1nsamplies∑i=0nsamplies−1(yi−y^)2 M S E ( y , y ^ ) = 1 n s a m p l i e s ∑ i = 0 n s a m p l i e s − 1 ( y i − y ^ ) 2

决定系数（ R2 R 2 score）

R2(y,y^)=1−∑nsamplies−1i=0(yi−yi^)2∑nsamplies−1i=0(yi−y¯)2 R 2 ( y , y ^ ) = 1 − ∑ i = 0 n s a m p l i e s − 1 ( y i − y i ^ ) 2 ∑ i = 0 n s a m p l i e s − 1 ( y i − y ¯ ) 2

代码：
sklearn.metrics
from sklearn.metrics import explained_variance_score
explained_variance_score(y_true,y_pred)

from sklearn.metrics import mean_absolute_error
mean_absolute_error(y_true,y_pred)

from sklearn.metrics import mean_squared_error
mean_squared_error(y_true,y_pred)

from sklearn.metrics import r2_score
r2_score(y_true,y_pred)

四、决策树（分类回归树）分类标准

>
Gain(A) = Variance(父) - Variance(子) #Gain(A)信息增益

五、相关和回归

5.1 相关和回归的关系

    都是研究变量相互关系的分析方法
    相关分析是回归分析基础和前提，回归分析是变量之间相关程度的具体形式
    相关分析：正相关,负相关
    相关形式: 线性, 非线性

>

5.2 线性相关性度量：皮尔逊相关系数

r=∑ni=1(xi−x¯)(yi−y¯)∑ni=1(xi−x¯)2−−−−−−−−−−−√∑ni=1(yi−y¯)2−−−−−−−−−−−√ r = ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) ( y i − y ¯ ) ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 ∑ i = 1 n ( y i − y ¯ ) 2

相关VS回归:

六、一元线性回归

6.1 一元线性回归模型

寻找最佳拟合直线：最小二乘法

该方法是寻找最佳拟合直线的参数（斜率和截距）

min∑i=1n(Yi−Yi^)2=min∑i=1nεi^2 m i n ∑ i = 1 n ( Y i − Y i ^ ) 2 = m i n ∑ i = 1 n ε i ^ 2

参数估计 回归表达式： Yi^=β0^+β1^xi Y i ^ = β 0 ^ + β 1 ^ x i

斜率:      β1^=SSxySSxx=∑(xi−x¯)yi−y¯)∑(xi−x¯)2 斜 率 :             β 1 ^ = S S x y S S x x = ∑ ( x i − x ¯ ) y i − y ¯ ) ∑ ( x i − x ¯ ) 2

截距:        β0^=y¯−β1^x¯                                  截 距 :                 β 0 ^ = y ¯ − β 1 ^ x ¯                                                                  

七、课程总结

分类与回归 区别与联系
相似之处：
    都是有监督学习
    最重要的两种预测模型
    决策树既可以分类 也可以做回归
    二元分类模型的经典算法逻辑回归算法，本质上也是一种回归算法

区别：
    回归目标变量是连续型变量
    分类目标变量是类别型变量

常见的饿回归算法和模型
    1 基于最小二乘法的一元/多元线性回归
    2 多项式回归（非线性）
    3 Ridge 回归（L2正则化回归），岭回归
    4 Lasso 回归（L1正则化回归），套索回归
    5 决策树（CART，分类回归树）
    6 逻辑回归