回溯法的多米诺性质
最近在复习算法,
没办法,要考试啦. 在复习回溯法的时候终于理解了之前不是很清楚的多米诺性质.
1 回溯法
由于这篇博客主要讲解多米诺性质, 默认大家已经了解回溯法啦,这里对回溯法的具体内容就不进行讲解了,其实是太懒不想写.
回溯法是一个很实用的算法,适合求解搜索问题和优化问题.你也可以将它看做是蛮力法(枚举法)的改进.
但不是什么情况下都可以使用回溯法, 那么就要问了,回溯法的适用条件是什么? 这就是今天的主角: 多米诺性质
2 多米诺性质
先不看多米诺性质是什么,在了解了回溯法的基本思想后,我们可以总结一下什么情况下可以使用回溯法.
2.1 回溯法的基本思想
将待求解问题看做一个解空间树, 问题的解可以表示为 X = < x 1 , x 2 , . . . , x n > X=<x_1, x_2, ..., x_n> X=<x1,x2,...,xn>,
然后利用深度优先搜索逐步确定每一个解 x i x_i xi, 当搜索到树的叶子结点时, 就得到问题的一个解 X i X_i Xi.
当然这个解不一定是最优解,在将整个解空间树搜索完之后,通比较得到的每个 X i X_i Xi,便可以得到最优解.
其实上面的思想是枚举搜索的思想,并不是回溯法.但是加上下面这一部分就成了回溯法了. 下面这一部分是回溯法的核心
在搜索的过程中, 问题的解 X X X需要满足约束条件 P ( X ) P(X) P(X).
在搜索到一个结点的时候发现当前结点不满足约束条件,则放弃向下搜索,即不再搜索该结点的子结点, 而是回溯到上一个结点继续搜索.
由于在搜索过程中,放弃了一些没有必要搜索的结点,整个算法的效率就提高了.
为什么能够放弃? that is the question.
如果当前结点不满足约束条件,能够推导出它的子结点也不满足约束条件,那么就可以放弃搜索它的子结点.其实这就是多米诺性质.
2.2 多米诺性质的定义
设 X = < x 1 , x 2 , . . . , x n > X = <x_1, x_2, ..., x_n> X=<x1,x2,...,xn>是问题的解,
X i = < x 1 , x 2 , . . . , x i > , X i + 1 = < x 1 , x 2 , . . . , x i , x i + 1 > , X i , X i + 1 ⊆ X X_i=<x_1, x_2, ..., x_i>, X_{i+1} = <x_1, x_2, ..., x_i, x_{i+1}>, X_i, X_{i+1} \subseteq X Xi=<x1,x2,...,xi>,Xi+1=<x1,x2,...,xi,xi+1>,Xi,Xi+1⊆X.
X i 和 X i + 1 X_{i}和X_{i+1} Xi和Xi+1 分别是搜索到第i层和第i+1层的解.
如果 P ( X i + 1 ) → P ( X i ) P(X_{i+1}) \rightarrow P(X_i) P(Xi+1)→P(Xi) , 即 P ( X i + 1 ) P(X_{i+1}) P(Xi+1) 蕴含 P ( X i ) P(X_i) P(Xi), 则称该问题满足多米诺性质.
是不是很难理解?数学是个好东西,表达简洁优雅,没有二义性,但是太难理解.
其实上面定义的意思是: 如果子结点满足约束条件能够推导出其父结点满足约束条件,那么就满足多米诺性质.
为什么感觉和之前说的不太一样? 对比一下
- 如果当前结点不满足约束条件,能够推导出它的子结点也不满足约束条件.
- 如果子结点满足约束条件能够推导出其父结点满足约束条件.
你会发现其实这两个命题互为逆否命题,也就是这两个命题说的是同一件事.下面给出证明.(涉及一点数理逻辑的知识,但是逻辑很简单)
[证明]:
如 果 问 题 满 足 多 米 诺 性 质 , 则 有 P ( X i + 1 ) → P ( X i ) 有 逆 否 命 题 ¬ P ( X i ) → ¬ P ( X i + 1 ) 成 立 在 当 前 结 点 不 满 足 约 束 条 件 时 , 即 ¬ P ( X i ) . 可 得 到 ¬ P ( X i + 1 ) 成 立 即 当 前 结 点 不 满 足 约 束 条 件 时 , 它 的 子 结 点 也 不 满 足 约 束 条 件 . \begin{aligned} & 如果问题满足多米诺性质, 则有P(X_{i+1}) \rightarrow P(X_i)\\ & 有逆否命题 \neg P(X_{i}) \rightarrow \neg P(X_{i+1}) 成立\\ & 在当前结点不满足约束条件时, 即\neg P(X_{i}).\\ & 可得到\neg P(X_{i+1})成立\\ & 即当前结点不满足约束条件时, 它的子结点也不满足约束条件. \end{aligned} 如果问题满足多米诺性质,则有P(Xi+1)→P(Xi)有逆否命题¬P(Xi)→¬P(Xi+1)成立在当前结点不满足约束条件时,即¬P(Xi).可得到¬P(Xi+1)成立即当前结点不满足约束条件时,它的子结点也不满足约束条件.
因此只要求解的问题满足多米诺性质,我们在使用回溯法时, 当发现当前结点不满足约束条件,就可以放弃对其子节点的搜索.
[理解]:
考察多米诺性质的目的是为了确认, 在对解空间搜索的过程中, 在当前结点不满足约束条件时, 能不能放弃对当前结点的子结点的搜索.如果问题满足多米诺性质,则可以;否则, 不可以, 在这种情况下回溯法可能会丢解.
3 Example
3.1 背包问题
背包问题的描述在这里不进行赘诉.
背包问题的约束条件
- n n n: 物品的数量
- x i x_i xi: 表示是否选择该物品
- w i w_i wi: 物品的重量
- C C C:背包容量
{ Σ i = 1 n x i ∗ w i ≤ C , 0 < i ≤ n x i ∈ { 0 , 1 } , 0 < i ≤ n w i > 0 , 0 < i ≤ n \left\{ \begin{aligned} &\Sigma_{i=1}^{n} x_i*w_i \le C, 0 < i \le n\\ &x_i \in \{0,1\}, 0 < i \le n\\ &w_i > 0,0 < i \le n\\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧Σi=1nxi∗wi≤C,0<i≤nxi∈{0,1},0<i≤nwi>0,0<i≤n
背包问题的多米诺性质
[证明]:
设 X i = Σ k = 1 i x k ∗ w k , X i + 1 = Σ k = 1 i + 1 x k ∗ w k ∵ X i + 1 ≤ C , w k > 0 , x k ∈ { 0 , 1 } ∴ X i < X i + 1 ≤ C \begin{aligned} & 设X_{i}= \Sigma_{k=1}^{i} x_k*w_k, X_{i+1}= \Sigma_{k=1}^{i+1} x_k*w_k\\ & \because X_{i+1} \le C, w_k > 0, x_k \in \{0,1\}\\ & \therefore X_{i} < X_{i+1} \le C \end{aligned} 设Xi=Σk=1ixk∗wk,Xi+1=Σk=1i+1xk∗wk∵Xi+1≤C,wk>0,xk∈{0,1}∴Xi<Xi+1≤C
因此背包问题满足多米诺条件,可以使用回溯法解决.
3.2 不等式的整数解
求解不等式 5 ∗ x 1 + 4 ∗ x 2 − x 3 ≤ 10 , 1 ≤ x i ≤ 3 , i = 1 , 2 , 3 5*x_1 + 4*x_2 - x_3 \le 10, 1 \le x_i \le 3, i=1,2,3 5∗x1+4∗x2−x3≤10,1≤xi≤3,i=1,2,3的整数解.
这个问题不满足多米诺性质否则为什么要举这个例子
[证明]:
当 5 ∗ x 1 + 4 ∗ x 2 − x 3 ≤ 10 成 立 时 显 然 5 ∗ x 1 + 4 ∗ x 2 ≤ 10 不 一 定 成 立 \begin{aligned} & 当 5*x_1 + 4*x_2 - x_3 \le 10 成立时 \\ & 显然 5*x_1 + 4*x_2 \le 10 不一定成立\\ \end{aligned} 当5∗x1+4∗x2−x3≤10成立时显然5∗x1+4∗x2≤10不一定成立
因此如果只是这样的话,没办法用回溯法解决.
但也是可以用回溯法解决的.
将不等式 5 ∗ x 1 + 4 ∗ x 2 − x 3 ≤ 10 , 1 ≤ x i ≤ 3 , i = 1 , 2 , 3 5*x_1 + 4*x_2 - x_3 \le 10, 1 \le x_i \le 3, i=1,2,3 5∗x1+4∗x2−x3≤10,1≤xi≤3,i=1,2,3 修改为 − x 1 + 5 ∗ x 2 + 4 ∗ x 3 ≤ 10 , 1 ≤ x i ≤ 3 , i = 1 , 2 , 3 - x_1 + 5*x_2 + 4*x_3 \le 10, 1 \le x_i \le 3, i=1,2,3 −x1+5∗x2+4∗x3≤10,1≤xi≤3,i=1,2,3 , 就可以使用回溯法了.
[证明]:
当 − x 1 + 5 ∗ x 2 + 4 ∗ x 3 ≤ 10 成 立 时 显 然 − x 1 + 5 ∗ x 2 ≤ − x 1 + 5 ∗ x 2 + 4 ∗ x 3 ≤ 10 成 立 当 − x 1 + 5 ∗ x 2 ≤ 10 成 立 时 显 然 − x 1 ≤ − x 1 + 5 ∗ x 2 ≤ 10 成 立 \begin{aligned} & 当 - x_1 + 5*x_2 + 4*x_3 \le 10 成立时 \\ & 显然 - x_1 + 5*x_2 \le - x_1 + 5*x_2 + 4*x_3 \le 10 成立\\ & 当 - x_1 + 5*x_2 \le 10 成立时\\ & 显然 - x_1 \le - x_1 + 5*x_2 \le 10成立\\ \end{aligned} 当−x1+5∗x2+4∗x3≤10成立时显然−x1+5∗x2≤−x1+5∗x2+4∗x3≤10成立当−x1+5∗x2≤10成立时显然−x1≤−x1+5∗x2≤10成立
因此不等式 − x 1 + 5 ∗ x 2 + 4 ∗ x 3 ≤ 10 , 1 ≤ x i ≤ 3 , i = 1 , 2 , 3 -x_1 + 5*x_2 + 4*x_3 \le 10, 1 \le x_i \le 3, i=1,2,3 −x1+5∗x2+4∗x3≤10,1≤xi≤3,i=1,2,3满足多米诺性质.