《数据结构与算法分析》贪婪算法与分治算法--二维最近点问题详解

前言：

      这段时间晚上都在做实习的工作，所以学习的进度有点慢了下来。不过基础是非常重要的，所以一定不能把基础给拉下，平时挤时间出来也得好好看书学习。

这本书现在到了第十章，还有两章。本来打算9月底一定要弄完这本书的，不过发生了太多的事情，但是还是要尽全力往前赶。

我的github：

我实现的代码全部贴在我的github中，欢迎大家去参观。

https://github.com/YinWenAtBIT

介绍：

一、贪婪算法：

一、定义：

贪婪算法分阶段的工作，每一个阶段，都选择当前能选择的最好的选择，不考虑将来的后果。每次的选择都是局部最优，期望最后的结果能达到全局最优，它的策略就是它名字的来由。

二、贪婪算法的应用：

1. Dijkstra算法，在图论中使用的最短路径优先算法就是贪婪算法，每次选择当前可见的路径中具有最低加权的边。即是使用了贪婪策略。

2.Prim算法，图论中最小生成树。每次选择与原有树相连的具有最小加权的边，同样是贪婪策略。

3. Kruskal算法，同样是求最小生成树，使用贪婪策略。

这几个算法我已经在之前的学习中学习过了，并且全部实现出来了。接下来是这一章中提及的新的算法

4.调度问题;

这个问题是要得到最短的平均完成时间，在单处理器情况下，优先调用耗时最短的任务即可。

在多处理器中，采用同样的策略可以得到最短的平均完成时间，但是如果要是的最后完成时间最小，这就会变成一个NP完全问题，这个问题就不再是可以简单处理的问题了。这个问题，难的太难，简单的太简单，没有什么编码实现的必要，直接略过了。

5.Huffman编码

这个Huffman编码说起来可就真的有历史了，本科的数据结构课程就学习过了，不过当时我只会背诵这个算法，对于如何真正去实现它一筹莫展，直到上个学期，我学习图像处理课程，其中也要求使用matlab来完成Huffman编码，当时我也是不明白怎么做，看了一篇别人的博客，发现用链表实现特别好，并且突然发现链表原来是这么用的。。最后那个作业还是抄的别人的，因为我不知道怎么在matlab里面写一个链表。

今天再来看这个算法，只不过是生成一颗树而已，先把所有的节点都加入优先队列，每次取出两个来组成一个新的节点再加入队列，时间复杂度O(N*logN)，N代表需要编码的元素。或者直接使用链表来写，O(N^2)的复杂度。书上没有给出伪代码，我也觉得没有必要。通过这么一段时间的训练，我感觉这样的算法再写出来也基本是浪费时间而已了。直接手写，使用以前编写好的优先队列或者是链表，估计20分钟就完成了。不过现在连20分钟都不愿意花在这上面了。感觉自己这半年来进步已经非常的大了。

6.装箱问题

这个问题主要的难点在于联机算法与脱机算上。

联机算法代表一次只能知道一个物品大小的的信息，处理完一个物品的装箱，才知道另外一个物品的信息。所以在这种情况下，最优解是很难达到的，此时能到到的最优解为4/3倍与最优解的箱子数。不过达到这个限度的算法并没有。

使用贪婪策略的两个算法：首次适合法和最佳适合法，都可以达到17/10最优箱子的解。实现这个算法可以使用链表，或者是优先队列。

脱机时，就是知道所有的物品大小信息，然后进行装箱，能达到11/9最优。这里只进行了证明，并没有给出可行的算法。

三、编码实现：

这一块需要进行新的编码的地方基本没有，huffman编码现在对我来说已经太简单，不用再浪费时间了。

二、分治算法：

一、定义：

分治算法由两部分组成：

分：递归解决较小的问题

治：从子问题的解构建原问题的解

传统上，在正文至少含有两个递归调用的例程叫做分治算法，我们一般坚持子问题是不相交的（即基本不重叠）。

二、分治算法的应用：

1.最大子序列，这个问题可以把序列分成两部分，最大的序列出现在左边，或者右边，或者中间。时间复杂度O(N*logN)

2.归并排序与快速排序，都是使用分治思想，算法复杂度O(N*logN)

3.最近点问题，同样是使用分治算法，可以根据x坐标将排好序的点分成左右两部分，然后最近点位于左边，右边，或者中间。

三、分治算法的运行时间：

对于方程的：

T(N) =aT(N/b)+O(N^k)

的解为：

T(N) = O(N^(lga/lgb))  a>b^k时

        = O(N^(N^k*logN))  a=b^k时

        = O(N^(N^k))  a

这里原方程代表处理算法的复杂度方程，其中a为划分之后的子问题个数，b是子问题相对于原问题的大小的倒数，最后一项是每次递归需要做的额外工作。

接下来将详细讲解如何求二维最近点问题：

三、最近点问题：

1问题模型：

给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点的所有点对中，该点对的距离最小。严格地说，最接近点对可能多于1对。为了简单起见，这里只限于找其中的一对。

2.一维最近点问题：

对于一维的最近点问题，可以采用分治法，做法是排序之后，从中间分开，最近点在左边，右边，或者横跨左右两部分。一维的分治法很好实现，算反复杂度O(N*logN)。实际上，在头脑中调用这个递归过程，实际上很容易发现，实际上就是对相邻的两个点求距离，然后找到最近的那个。我们这里就可以利用动态规划的思想，直接对排好序的点，求相邻点的距离，排序的复杂度O(N*logN)。复杂度相同。

3.二维最近点问题：

当维度升高之后，就不能像之前那样直接求取相邻点的距离了，因为此时如果按照x坐标排序，那么y此时便不是按顺序排列的了。那么就没有相邻点的意义在这了。

那么此时，如何化简这个问题呢，做法还是利用分治法，先按照x排序，然后分开，左边，右边，中间。这样先把问题给化简。然后对于每一个最简的x区域，对这个区域内的所有点的距离进行计算，所以调用到最简时，计算的复杂度为O(N)。但是这时有一个缺陷。如果说所有的点都是均匀分布的，那么这个算法复杂度为O(N*logN)，但是如果所有的点都落在了同一带内，那么这时候这个算法就失效了。如果此时能够把y也按照顺序排列，比较的时候就只用比较y“相邻”的点了。实际上是比较y之差小于epsilon的点。

算法过程：

预处理：把所有点先对x坐标进行归并排序，放入数组X中，再对X数组中的数据按照y排序，放入数组Y中

1.对输入的X数组的数据从中间分开，以中间点为界限，将Y数组按照中间的x分成左右两部分，放入数组Z中，左边部分x小于中间点的x坐标，右边相反。

2.递归求左右数组的最短距离；

3. 取左右数组最小距离，合并Z中的数组，然后对在左右最小距离里的点求取距离。

更加具体的解释，大家可以参考：http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8484284

4.编码实现二维最近点问题：

首先是类定义：

class PointX
{
public:
	PointX(){}
	bool operator <(PointX &P2){return x

这里PointX与PointY都重载了<与<=符号，两个的目的就是在排序的时候分别比较x与y。

预处理：

预处理之后直接调用了真正的处理函数，直接返回了处理的结果

void getNearDis(PointX X[], int N, PointX &a, PointX &b, float &d)
{
	MergeSort(X, N);

	PointY *Y = new PointY[N];

	for(int i=0; i

分治处理核心：

这一部分处理代码比较长，也不太好懂，需要反复思考问题的模型之后才能比较明白。

void getClosest(PointX X[], PointY Y[], PointY Z[], int left, int right, PointX &a, PointX &b, float &d)
{
	/*剩下两个点*/
	if(right -left ==1)
	{
		d = getDis(X[left], X[right]);
		a = X[left];
		b = X[right];
		return;
	}
	/*剩下三个点*/
	if(right - left ==2)
	{
		float d1, d2, d3;
		d1 = getDis(X[left], X[right-1]);
		d2 = getDis(X[left], X[right]);
		d3 = getDis(X[left+1], X[right]);

        if(d1<=d2 && d1<=d3)   
        {   
            a=X[left];  
            b=X[right -1];  
            d=d1;  
            return;  
        }   
  
        if(d2<=d3)  
        {   
            a=X[left];  
            b=X[right];  
            d=d2;  
        }   
        else {   
            a=X[left+1];   
            b=X[right];   
            d=d3;   
        } 
			
		return;
	}

	int center = (left + right)/2;

	int k = left;
	int g= center +1;
	/*将已经按Y排序的点，根据中线，分别放入中线左边和右边*/
	for(int i = left; i <=right; i++)
	{
		if(Y[i].xID <= center) 
			Z[k++] = Y[i];
		else
			Z[g++] = Y[i];
	}

	PointX atmp, btmp;
	float dtmp;

	getClosest(X, Z, Y, left, center, a, b, d);
	getClosest(X, Z, Y, center+1, right, atmp, btmp, dtmp);

	if(dtmp< d)
	{
		a = atmp;
		b = btmp;
		d = dtmp;
	}

	Merge(Z, Y, left, center+1, right);

	int f = left;
	/*距离中心线距离在d内的点放入Z中，并且这些点是按照y坐标从小到大排序的 */
	for(int i =left; i<=right; i++)
	{
		if(ABS(X[center].x - Y[i].x) 

测试结果

这里只对二维最近点问题进行了编码，测试也只测试这个代码：

生成1000个随机的x，y坐标，算法很快就得到了答案。

总结：

这一次对于二维最近点问题的学习与编码，基本上让我对于分治算法有了更深入的理解了。想要想出一个好的分治算法，一定要先想清楚整个分与治的流程。想明白之后，再进行编码就容易多了。