【JZOJ4261】【NOIP2015模拟10.22】最小代价（最短路图+最小生成树 or 贪心）

Problem

  给出一幅由n（≤100000）个点m（≤200000）条边构成的无向带权图。（权值z满足1≤z≤1000000000）
  其中有些点是黑点，其他点是白点。
  现在每个白点都要与他距离最近的黑点通过最短路连接（如果有很多个黑点，可以选取其中任意一个），我们想要使得花费的代价最小。请问这个最小代价是多少？
  注意：最后选出的边保证每个白点到离它最近的黑点的距离仍然等于原图中的最短距离。

Solution

• 首先，可以建一个超级点S，从S向所有黑点连权值为0的边。
• 既然要走最短路，我们可以先构出一个最短路图。（我竟然没想到）
• 最短路图的话，大约是先跑一遍spfa或者dijkstra；然后对于边(x,y)，若dis[x]+该边的权值=dis[y]，则表明该边存在于最短路图中。换句话说，最短路图就是由所有最短路构出的一张新图。
• 接下来，我们要花最小的代价将所有白点与黑点连接。

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• 可以考虑最小生成树。
• 我们可以使用kruskal或者prim跑出一个最小生成树。既然是最小生成树，每个白点都会与Ｓ联通；进而也与黑点联通。
• 但是，还有更加巧妙的方法。

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• 对于每一个白点x，我们可以枚举从它出发的一条在x的最短路图中的边i:(x,y)（即dis[y]+i的权值=dis[x]），记边j为所有在x的最短路图中的i中权值最小的一条，我们只需连上j即可。
• 为什么呢？设这条j为(x,y)，我们连了它以后，就将点x连上黑点的希望寄托在点y身上了；若y为黑点自然最好，若y为白点，则y的那条连边也要根据y的最短路来连；y可能会连向一个黑点，也可能会连向另一个白点y’；y’又可能连向另一个白点y”……但是，最终不可能连回点x，因为这样就会形成一个环，这显然不可能是最短路。所以说，它最多会遍历一遍所有的白点，最后老老实实连向一个黑点。

Code

#include 
#define MIN(x,y) x=min(x,y)
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define repe(i,x) for(edge *i=x; i; i=i->ne)
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1e5+9,M=N<<3;
int i,n,m,col[N],x,y,l,r,q[30*N];
ll z,dis[N+1],ans;
bool p[N];
struct edge
{
    int v;
    ll w;
    edge *ne;
}e[M],*tp=e,*fin[N];

templatevoid read(T &x)
{
    x=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
    return;
}

inline void link(int x,int y)
{
    *tp=(edge){y,z,fin[x]},fin[x]=tp++;
}

void spfa()
{
    memset(dis,63,sizeof dis); dis[0]=0;
    l=0; q[r=1]=0; p[0]=1;
    while(lx=q[++l];
        repe(i,fin[x])
        {
            y=i->v;
            if(dis[y]>dis[x]+i->w)
            {
                dis[y]=dis[x]+i->w;
                if(!p[y])
                {
                    p[y]=1; q[++r]=y;
                    if(dis[y]q[l+1]]) swap(q[r],q[l+1]);
                }
            }
        }
        p[x]=0;
    }
}

void greedy()
{
    fo(x,1,n)
        if(!col[x])
        {
            z=dis[N];
            if(dis[x]==z){printf("impossible"); return;}
            repe(i,fin[x])
                if(dis[i->v]+i->w==dis[x])
                    MIN(z,i->w);
            ans+=z;
        }
    printf("%lld",ans);
}

int main()
{
    read(n);read(m);
    fo(i,1,n) 
    {
        read(col[i]);
        if(col[i]) link(0,i);
    }
    fo(i,1,m)
    {
        read(x);read(y);read(z);
        link(x,y); link(y,x);
    }

    spfa();

    greedy();
}