线段树详解（洛谷模板题）

一、算法概况

    线段树是一种二叉搜索树，它将一个区间分成多个单元区间，每个单元区间对应线段树的一个叶子节点，有查询区间和，查询区间最大值、最小值等功能（本篇讲解的是求区间和的代码），由于它二叉结构的特性，使得他的操作复杂读为O(logN）

    线段树的根节点代表所要维护的值在总区间 [a,b] 的值，他的左子节点代表区间 [a,(a+b)/2] ,他的右子节点代表区间 [(a+b)/2+1,b]，对他的左右子节点也同样如此划分。

    线段树的操作大致分为建树、区间修改，下放延迟标记，区间查询等操作。

二、分步详解

1.建树

void build(int root,int istart,int iend){//建树 
	if(istart==iend){//如果区间的左端点等于右端点，即为到达了最下端的叶子节点
		mem[root].sum=a[istart];//叶子节点的值就是对应的点的值
		return;
	}
	int mid=(istart+iend)/2;
	build(root*2,istart,mid);//建左子树
	build(root*2+1,mid+1,iend);//建右子数
	mem[root].sum=mem[2*root].sum+mem[2*root+1].sum;//区间预处理求和，父节点的值是两个子节点值的和	
}

2.区间修改

void update(int root,int istart,int iend,int l,int r,int value){// 修改区间 
	if(riend) //如果查询的区间在我们目前找到的区间之外，就return，不寻找
		return;
	if(l<=istart&&r>=iend){ //如果我们找到了对应区间
		mem[root].addmark+=value; //我们将root节点的延迟标记加上value（value是我们在这个区间加上的值）
                mem[root].sum+=value*(iend-istart+1); //由于root节点对应的区间的每个节点都会加上value，所以root节点的sum值会加上value值×对应区间节点的个数
		return;
	}
	pushdown(root,iend-istart+1); //下方延迟标记（线段树的精髓）
	int mid=(istart+iend)/2;
	update(root*2,istart,mid,l,r,value); //修改左子节点
	update(root*2+1,mid+1,iend,l,r,value); //修改右子节点
	mem[root].sum=mem[root*2].sum+mem[root*2+1].sum; //区间再次求和，父节点的值是两个子节点的值的和
}

3.下放延迟标记

如果我们在修改区间时，一次全部修改，线段树的复杂度将大大增加，但如果我们加入了延迟标记，在我们需要使用该区间时进行下放延迟标记，可以将线段树大大优化

void pushdown(int root,int len){//下放标记 
	if(mem[root].addmark!=0){//如果root节点有延迟标记
		mem[2*root].sum+=mem[root].addmark*(len-len/2);//对左子节点下放标记时，同时求和
		mem[2*root].addmark+=mem[root].addmark;//左子节点所代表的区间也在父节点代表的区间内，所以他们的延迟标记应该相同
		mem[2*root+1].sum+=mem[root].addmark*(len/2);//对右子节点下放标记时，同时求和
		mem[2*root+1].addmark+=mem[root].addmark;//同左子节点
		mem[root].addmark=0;//由于父节点的标记已经下放给子节点，我们消除父节点的标记
	}
}

4.查询区间和

long long query(int root,int istart,int iend,int l,int r){//查询区间 ，注意用long long
	if(iendr)//如果我们当前的区间不在我们所要查询的区间内，return 0
		return 0;
	if(istart>=l&&iend<=r){//我们找到了对应区间
		return mem[root].sum;//返回对应的区间和
	}
	pushdown(root,iend-istart+1);//下放我们当前正确查找区间的延迟标记
	int mid=(istart+iend)/2;
	return query(root*2,istart,mid,l,r)+query(root*2+1,mid+1,iend,l,r);//父节点的值等于左右子节点的值和，我们在此递归求解
}

三、总代码

#include
#include
#include
#include
#define maxn 1e6+10
using namespace std;
int n,m,k;
int a[1000010];
struct node{
	long long addmark=0,sum;//addmark延迟标记，sum区间和 
}mem[1000010];
void build(int root,int istart,int iend){//建树 
	if(istart==iend){
		mem[root].sum=a[istart];
		return;
	}
	int mid=(istart+iend)/2;
	build(root*2,istart,mid);
	build(root*2+1,mid+1,iend);
	mem[root].sum=mem[2*root].sum+mem[2*root+1].sum;	
}
void pushdown(int root,int len){//下放标记 
	if(mem[root].addmark!=0){
		mem[2*root].sum+=mem[root].addmark*(len-len/2);//下放标记时同时求和 
		mem[2*root].addmark+=mem[root].addmark;
		mem[2*root+1].sum+=mem[root].addmark*(len/2);
		mem[2*root+1].addmark+=mem[root].addmark;
		mem[root].addmark=0;//消除父节点的标记 
	}
}
void update(int root,int istart,int iend,int l,int r,int value){// 修改区间 
	if(riend)
		return;
	if(l<=istart&&r>=iend){
		mem[root].addmark+=value;
		mem[root].sum+=value*(iend-istart+1);
		return;
	}
	pushdown(root,iend-istart+1);
	int mid=(istart+iend)/2;
	update(root*2,istart,mid,l,r,value);
	update(root*2+1,mid+1,iend,l,r,value);
	mem[root].sum=mem[root*2].sum+mem[root*2+1].sum;
}
long long query(int root,int istart,int iend,int l,int r){//查询区间 
	if(iendr)
		return 0;
	if(istart>=l&&iend<=r){
		return mem[root].sum;
	}
	pushdown(root,iend-istart+1);
	int mid=(istart+iend)/2;
	return query(root*2,istart,mid,l,r)+query(root*2+1,mid+1,iend,l,r);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int q,l,r;
		scanf("%d%d%d",&q,&l,&r);
		if(q==1){
			scanf("%d",&k);
			update(1,1,n,l,r,k);
		}
		else{
			printf("%lld\n",query(1,1,n,l,r));
		}
	}
	return 0;
}

四、总结

   线段树一般在noip中不作为正解出现，不过是暴力的不二之选，只要搞懂了线段树四种操作，线段树就可以基本理解了。