求：$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [(i,j)=1][(j,k)=1]$
这个时候可以拆前面的，也可以拆后面的.
由于后面的 $k$ 是一个定值，考虑拆解后面的部分.
得：$\sum_{d|k} \mu(d) \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{\frac{m}{d}} [(i,jd)=1]$
$\Rightarrow \sum_{d|k} \mu(d) \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{\frac{m}{d}} [(i,j)=1][(i,d)=1]$
令 $S(n,m,k)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [(i,j)=1][(j,k)=1]$
则有 $S(n,m,k)=\sum_{d|k} \mu(d)S(\frac{m}{d},n,d)$
其中边界条件是 $n,m \leqslant 0$ 和 $k=1$.
$k=1$ 时求的是 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [(i,j)=1]$
也就是 $\sum_{d=1}^{\min(n,m)} \mu(d)\frac{n}{d}\frac{m}{d}$
这个需要用到杜教筛来计算 $\mu$ 的前缀和.
$\Rightarrow S(n)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}S(\frac{n}{i})g(i)}{g(1)}$
我们选 $g=I(x)$，则 $(f*g)(i)=[i=1]$.
则 $S(n)=1-\sum_{i=2}^{n} S(\frac{n}{i})$
时间复杂度不会计算，但是跑的挺快.
代码：
#include