洛谷P4219 [BJOI2014]大融合【LCT】

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题目描述

小强要在N个孤立的星球上建立起一套通信系统。这套通信系统就是连接N个点的一个树。 这个树的边是一条一条添加上去的。在某个时刻，一条边的负载就是它所在的当前能够 联通的树上路过它的简单路径的数量。

输入格式：

第一行包含两个整数 N, Q表示星球的数量和操作的数量。星球从 11 开始编号。

接下来的 Q 行，每行是如下两种格式之一：

A x y 表示在 x和 y 之间连一条边。保证之前 x 和 y是不联通的。
Q x y表示询问 (x,y) 这条边上的负载。保证 x 和 y 之间有一条边。

输出格式：

对每个查询操作，输出被查询的边的负载。

说明

对于所有数据，$1\le N,Q\le 10^5$

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题目分析

题目中涉及动态加边的操作，所以马上想到LCT
但是LCT只擅长维护链信息，而此题要求维护子树，这就涉及到了LCT一个新的巧妙变化

先做两个定义

• 实儿子：结点$x$在$splay$中的儿子
• 虚儿子：与结点$x$在原树中直接相连但在和$x$不在同一个$splay$中

结合LCT的特性我们又知道以下几点

• $x$与它的实儿子在原图中不一定有直接连边
• $splay$维护树链的信息都是维护实儿子的信息
• $x$的实儿子信息包括了实儿子的虚儿子和实儿子的实儿子

那么为了得知$x$原树中子树的信息我们可以

• $access(x)$后返回$x$虚儿子的信息

这是因为$access(x)$后会使$x$没有实儿子

那么为了为了维护虚实儿子的信息，一些涉及虚实儿子转换的LCT函数就需要修改
以此题中维护子树大小为例，$Ts[x]$为$x$虚儿子信息，$size[x]$为原树信息总和

即$Ts[x]$只包含x所有虚儿子(通过轻边指向x)的信息总和
而$size[x]$实际上是$x$在$LCT$中的所有儿子的信息总和(包括辅助树Splay左右儿子的总和以及被轻边所指的虚儿子的总和)

那么要修改的函数应该有三个
首先$access(x)$肯定要改

void access(int x)
{
	int t=0;
	while(x)
	{
		splay(x);
		Ts[x]+=size[ch[x][1]]-size[t];
		//加上由实儿子变成虚儿子的size，减去虚儿子变成实儿子的size
		
		ch[x][1]=t;
		update(x);
		t=x; x=fa[x];
	}
}

$link(x,y)$使得$x,y$之间多了一条轻边，即$x$变成了$y$的虚儿子，所以$Ts$肯定要改
还有一处不同是$mkrt(y)$，因为连边后$y$到其$splay$根路径上的结点信息都会改变，这么做省去更新的麻烦

void match(int x,int y)
{
	mkrt(x); mkrt(y);
	fa[x]=y;
	Ts[y]+=size[x];
}

最后就是更新函数

void update(int x)
{
	int lc=ch[x][0],rc=ch[x][1];
	size[x]=size[lc]+size[rc]+Ts[x]+1;
	//sum[x]=sum[lc]+size[rc]+Tsum[x]+val[x];//权值总和
}

还有一个$cut(x,y)$似乎也涉及断边？
事实上$cut(x,y)$断掉的是重边，也就是实儿子间断开，并不影响虚儿子信息更新

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知道了这么多，这题其实也就挺裸了
查询也很简单

mkrt(u); access(v); splay(v);
printf("%lld\n",(Ts[u]+1ll)*(Ts[v]+1ll));

完整代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long lt;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return x*f;
}

const int maxn=500010;
int n,m;
int fa[maxn],ch[maxn][2];
int lzy[maxn],st[maxn],cnt;
lt Ts[maxn],size[maxn];
char ss[5];

int isrt(int x)
{
    return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;
}

void push(int x)
{
    if(!lzy[x]) return;
    swap(ch[x][0],ch[x][1]);
    lzy[ch[x][0]]^=1; lzy[ch[x][1]]^=1;
    lzy[x]=0;
}

void update(int x)
{
    int lc=ch[x][0],rc=ch[x][1];
    size[x]=size[lc]+size[rc]+Ts[x]+1;
}

void rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y];
    int d=(ch[y][0]==x);
    if(!isrt(y))
    {
        if(ch[z][0]==y) ch[z][0]=x;
        else ch[z][1]=x;
    }
    fa[y]=x; fa[ch[x][d]]=y; fa[x]=z;
    ch[y][d^1]=ch[x][d]; ch[x][d]=y;
    update(y); update(x);
}

void splay(int x)
{
    int top=0; st[++top]=x;
    for(int i=x;!isrt(i);i=fa[i])
    st[++top]=fa[i];
    while(top) push(st[top--]);
    
    while(!isrt(x))
    {
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if(!isrt(y))
        {
            if((ch[z][0]==y)^(ch[y][0]==x)) rotate(x);
            else rotate(y);
        }
        rotate(x);
    }
}

void access(int x)
{
    int t=0;
    while(x)
    {
        splay(x);
        Ts[x]+=size[ch[x][1]]-size[t];
        
        ch[x][1]=t;
        update(x);
        t=x; x=fa[x];
    }
}

void mkrt(int x)
{
    access(x); splay(x);
    lzy[x]^=1;
}

void match(int x,int y)
{
    mkrt(x); mkrt(y);
    fa[x]=y;
    Ts[y]+=size[x];
}

int main()
{
    n=read(); m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) size[i]=1;
    
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%s",&ss);
        int u=read(),v=read();
        if(ss[0]=='A') match(u,v);
        else if(ss[0]=='Q')
        {
            mkrt(u); access(v); splay(v);
            printf("%lld\n",(Ts[u]+1ll)*(Ts[v]+1ll));
        }
    }
    return 0;
}