平面图欧拉公式的精彩证明

在网上看到的一个十分简洁直观的证明，就忍不住想记录下来。

在介绍这个证明之前，让我们先来回顾一下什么是Euler公式。Euler公式是说，在一个由若干顶点和它们之间的一些不相交的边所组成的图中，等式V+F=E+2总成立，其中V表示顶点个数，E表示总的边数，F表示这个图分割出来的区域个数（包括一个“外部区域”，例如一个圆把平面分割为两个区域）。如图1，这个图共有6个顶点、10条边和6个区域，可以看到6+6=10+2是成立的。为了证明这个结论，考虑这个图的任意一个生成树（图1中加粗了的边）。再考虑这个图的“对偶图”：新图的每个顶点代表原图的一个区域，原图的两个区域相邻则在新图上的两个对应顶点之间连一条边（图2中的虚线部分）。接下来，我们找出原图中那些不属于生成树的边界线，把它们在新图中所对应的边加粗（图2中的加粗虚线）。容易看出，加粗的虚线是连通的，因为原图的粗线条是一棵生成树，它没有隔离出任何一块区域；同时呢，加粗虚线是没有环的，否则它将把某个原图的顶点包起来，从而原图中的加粗线条就不可能是生成树了。只需要注意到一棵树的顶点数等于边数加一，我们的结论就直接出来了：原图的顶点数就是Euler公式中的V，它等于原图生成树的边数加一；新图的顶点数就是Euler公式中的F，它等于新生成树的边数加一；而两棵生成树的边数总和正好就是原图中的E。于是呢，我们就得到了V+F=E+2。