哈工大《微积分》——一元积分学与微分方程

第一讲：原函数与不定积分

1. 原函数：$F^{{}^{\prime }}(x)=f(x),F(x)为f(x)的一个原函数.$
2. 不定积分：$F(x)+C.$
3. 不定积分的性质：
   3.1: $(\int f(x)dx{)}^{{}^{\prime }}=f(x).$
   3.2: $\int f^{{}^{\prime }}(x)dx=f(x)+C.$
4. 原函数的存在性：连续函数必有原函数；第一类间断点处无原函数【证明】。
5. 不定积分的基本公式：$\int \frac{1}{x}dx=ln\left|x\right|+C.$

第二讲：第一换元积分法【复合函数求导法】

1. 第一换元积分法（凑微分）：$\int f(g(x))g^{{}^{\prime }}(x)dx=\int f(g(x))dg(x).$
2. 第一换元积分公式补充：
   2.1 $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{b}\int f(ax+b)d(ax+b).$
   2.2 $\int \frac{1}{cosx}dx=\frac{1}{2}ln\left|\frac{1+sinx}{1-sinx}\right|+C=ln\left|\frac{1}{cosx}+tanx\right|+C.$
3. 三角函数积分：
   3.1 【m,n一奇一偶则易凑微分;全为偶数则用倍角公式降到一次】
   $$\int si{n}^{m}xco{s}^{n}xdx.$$
   3.2 【利用$1=si{n}^{2}x+co{s}^{2}x$转化分子来降次,前者凑微分,后者分部积分】
   $$\begin{array}{rl}& \int \frac{1}{si{n}^{m}xco{s}^{n}x}dx\\ & \Rightarrow (\int \frac{sinx}{co{s}^{k}x}dx,\int \frac{cosx}{si{n}^{k}x}dx),(\int \frac{1}{si{n}^{k}x}dx,\int \frac{1}{co{s}^{k}x}dx.)\end{array}$$
   3.3 【利用$ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x-1和co{t}^{2}x=cs{c}^2-1来降次$】
   【结合$d(tanx)=se{c}^{2}x和d(cot)=-cs{c}^{2}x$】
   $$\begin{array}{rl}\int ta{n}^{n}xdx& =\int ta{n}^{n-2}x(se{c}^{2}x-1)dx\\ & =\int ta{n}^{n-2}xd(tanx)-\int ta{n}^{n-2}xdx.\\ \int co{t}^{n}xdx& =\int co{t}^{n-2}(cs{c}^2-1)dx\\ & =-\int co{t}^{n-2}(1-cs{c}^2)dx\\ & =-(\int co{t}^{n-2}xdx+\int co{t}^{n-2}xd(cotx)).\end{array}$$
   3.4【利用$1=si{n}^{2}x+co{s}^2$转换分母常数项$\to$齐次】
   $$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{a+bsi{n}^{2}x}dx& =\int \frac{1}{(a+b)si{n}^{2}x+aco{s}^{2}x}dx\\ & =\int \frac{1}{(a+b)+ata{n}^{2}x}\cdot se{c}^{2}xdx\\ & =\int \frac{1}{(a+b)+ata{n}^{2}x}d(tanx).\\ \int \frac{1}{a+bco{s}^{2}x}dx.& \end{array}$$
4. 其他函数的凑微分：
   4.1 【遇到分母含$e^x$,分子加一项减一项】
   $$\int \frac{1}{1+e^x}dx=\int \frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}dx.$$
   4.2【局部求导法凑微分】
   $$\int \frac{x}{x^2+2x+2}dx.$$

第三讲：分部积分法【乘积函数求导法】

1. 分部积分法：$\int fdg=f\cdot g-\int gdf.$
2. 典型的分部积分：
   2.1 $\int lnxdx,\int arctanxdx.$
   2.2 $\int x\cdot arctanxdx.$
   2.3 $\int xcosxdx,\int x{e}^{x}dx.$
   2.4 $\int e^{x}sinxdx.$【解方程】
   2.5 $\int \frac{1}{si{n}^{n}x}dx,\int \frac{1}{co{s}^{n}x}dx,\int \frac{1}{(a^2+x^2{)}^n}dx.$
3. 其他类型的分部积分：
   3.1 不同类函数乘积型：$\int \frac{xarcsinx}{\sqrt{1-x^2}}dx.$【典型凑微分】
   3.2 导数重复出现型：$\int cosxlnxdx.$【解方程法】
   3.3 含“不可积”函数型：$\frac{sinx}{x},e^{x^2},sin{x}^2,\frac{1}{lnx},\sqrt{1+x^3},\frac{e^x}{x}.$【抵消法】
   3.4 含有抽象函数型：$\int [f^{{}^{\prime \prime }}(x)g(x)-f(x)g^{{}^{\prime \prime }}(x)]dx$【分部后可抵消】

第四讲：其他类型积分法

1. 第二换元积分法：
   1.1 $\int f(\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx.$【整体换元为$t$】
   【例题】：$\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}dx$
   1.2 $\int f(\sqrt{A{x}^2+Bx+C})dx.$【配方后三角代换】
   【例题】：$\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}dx$
2. 有理函数积分：【假分式=多项式+真分式】【真分式=$\sum$最简分式】
3. 三角函数万能代换：$sinx=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1+ta{n}^2\frac{x}{2}},cosx=,tanx=.$
4. 分段函数积分：【要求原函数在分段点处连续】

第五讲：定积分

1. 定积分：任意无限划分，任意区间取点，黎曼和取极限。
2. 定积分的几何意义：代数和。
3. 定积分可积准则：黎曼可积必有界（必要条件）；连续必黎曼可积；有限个一类间断必黎曼可积。
4. 定积分的性质。

第六讲：微积分基本定理

1. 变限积分函数：$\varphi (x)=\int {}_a^{x}f(t)dt.$
2. 微积分定理第一部分——微分部分：【微分与定积分的关系】
   $${\varphi }^{{}^{\prime }}(x)=({\int }_a^{x}f(t)dt{)}^{{}^{\prime }}=f(x).$$
3. 微积分定理第二部分——积分部分：【定积分与不定积分的关系】
   $${\int }_a^{x}f(t)dt=F(x)-F(a).$$
4. 【证明】：$[a,b]$上$f(x)$可积，则${\int }_a^{x}f(t)dt$连续，但不一定可积.

第七讲：定积分的计算【可利用几何意义、对称性等】

1. 第一还原积分法：换元必换限。
   【例题】：求${\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+x^2}dx.$
2. 分部积分法。
   【例题】：求$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{e}^{x^2}cosnxdx$$
3. 分段函数的积分。
4. 第二换元积分法：【换元必换限】
   $${\int }_a^{b}f(x)dx\stackrel{x=g(t)}{}{\int }_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f[g(t)]g^{{}^{\prime }}(t)dt.$$
   【例题1】：强调定积分的第二换元积分！【“倒区间换元”后可抵消】
   $$求{\int }_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cosx}{1+e^x}dx.$$
   【例题2】：$$求证{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}sinxdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}cosxdx$$
   【例题3】：$$求证{\int }_0^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(sinx)dx=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx)dx.$$
5. 定积分定义求极限：$${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}.$$

第八讲：广义积分

1. 无穷区间上的定积分。
   【例题】：$求{\int }_0^{+\infty }\frac{1}{(1+x^2)(1+x^{\beta })}dx,0<\beta <1.$
2. 瑕积分：有限点处函数无界。
   【例题】：$求{\int }_0^{\pi }\frac{1}{1+3si{n}^{2}x}dx.$

第九讲：极值与最值

1. 函数的单调性：
   【定理1】：$f(x)单调上升且f^{{}^{\prime }}(x)存在，则f^{{}^{\prime }}(x)⩾0.$
   【定理2】：$f(x)在(a,b)内可导，且f^{{}^{\prime }}(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调递增.$
2. 函数的极值：驻点、极值嫌疑点。
   【定理】：极值的两个判断定理。
3. 函数的最值：
   【题型1】：闭区间上连续函数的最值：逐个比较嫌疑点函数值得到最值。
   【题型2】：开区间连续函数的最值：若有且仅有一个极值，则必为最值。
   【题型3】：实际问题中的最值。

第十讲：函数的作图

1. 凹凸性：$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]\iff 凹.$
   【定理】：$f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0⟺凹.$
2. 拐点：凹凸性变化点。
3. 渐趋线：$$y=ax+b:a=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }[f(x)-ax].$$
4. 曲线的作图：特殊点，区间。

第十一讲：函数的弧微分

1. 弧微分公式：$$要求\underset{M\to M^{{}^{\prime }}}{\lim }\frac{M_{0}M}{\left|M_{0}M\right|}=1.$$
   $$\begin{array}{rl}ds& =\sqrt{1+f^{{}^{\prime }2}(x)}dx\\ & =\sqrt{x^{{}^{\prime }2}(t)+y^{{}^{\prime }2}(t)}dt\\ & =\sqrt{r^2(\theta )+r^{{}^{\prime }2}(\theta )}d\theta .\end{array}$$
2. 微分三角关系：$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}.$
3. 曲率圆：$K=\frac{1}{R}$，曲率中心的运动轨迹即渐屈线。

第十二讲：定积分的应用

1. 微元法：$所求量满足可加性；存在实数区间[a,b]与所求量对应；\forall x\in [a,b],点区间[x,x+dx]对应的分量dS=f(x)dx.$
2. 求平面图形面积：直角坐标系、极坐标系。
3. 求旋转体体积。
4. 求横截面积已知的空间体的体积。
5. 计算弧长。
6. 定积分的物理应用。

第十三讲：常微分方程

1. 常微分方程：未知函数为一元函数。
2. 微分方程的阶：方程中未知函数的最高阶数。
3. 微分方程的解：一个解、通解、特解、奇解。
4. 定解条件：n阶微分方程需要n个定解条件来确定解。

第十四讲：一阶微分方程

1. 可分离变量型：$g(y)dy=f(x)dx.$
2. 齐次型：$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})或\frac{dx}{dy}=f(\frac{x}{y}).$
3. 一阶线性型：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).$
4. 伯努利方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n,(n̸=0,1).$

第十五讲：可降阶的高阶微分方程：

5.1 $y^{(n)}=f(x)型;$
5.2 $F(x,y^{(n)},y^{(n+1)})型;$
5.3 $F(y,y^{{}^{\prime }},y^{{}^{\prime \prime }})型;$

第十六讲：线性微分方程通解结构

1. 线性微分方程：$$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_0(x)y=f(x).$$
2. n阶线性微分方程通解结构：n个线性无关特解的线性和+非齐次特解。

第十七讲：常系数线性微分方程

1. n阶常系数线性微分方程：$$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{0}y=f(x).$$
2. 常系数齐次：假设特解为$e^{\lambda x}$，求特征方程得到线性无关的特解。
3. 特征根的分类：
   3.1 k重实根：对应k个不带三角的幂指根——$x^i{e}^{{\lambda }_{i}x}$
   3.2 k重复根：对应2k个带三角的幂指根——$x^i{e}^{{\alpha }_i}cos\beta x,x^i{e}^{{\alpha }_i}sin\beta x.$