NOIP2018 保卫王国【动态DP(LCT版)】

题目描述：

n个点的树，每个点选的代价为val[i]，m个询问，问确定某两个点选或不选后树的最小点覆盖。n,m<=100000

题目分析：

最小点覆盖，设$f[i][0/1]$表示$i$点不选/选时子树的最小代价，转移为：
$$\{\begin{array}{l}f[u][0]={\sum }_{v}f[v][1]\\ f[u][1]=val[u]+{\sum }_v\min (f[v][0],f[v][1])\end{array}$$
然后剩下就是动态DP的事情了，可以类比动态DP【模板】
如果强制要求选1就把$f[1]+=-INF$，最后再加回来，如果要求选0就把$f[1]+=INF$就是正常的动态DP了。

对于此题为了方便使链末尾的点的转移矩阵恰好对应它的$f$，可以这样设置：
$$\left[\begin{array}{c}f[1]\\ f[0]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}^{\prime }[1]& f^{\prime }[1]\\ f^{\prime }[0]& INF\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}{f}_{son}[1]\\ f_{son}[0]\end{array}\right]$$
$f^{\prime }[0/1]$表示用只用轻儿子转移时的$f$值。

如果将1,0反过来的话就会发现转移矩阵变成了$\left[\begin{array}{cc}INF& f^{\prime }[0]\\ f^{\prime }[1]& f^{\prime }[1]\end{array}\right]$，此时链末尾的左半部分就不与它的f矩阵等价了，但是你可以给末尾乘上一个$\left[\begin{array}{c}INF\\ 0\end{array}\right]$，这样它就等价了，你会发现这时转移矩阵的乘积（未乘0矩阵）的右半部分才是我们想要的$f$矩阵。

LCT一开始所有儿子都是轻儿子。矩阵拆开写可以优化常数。

Code：

#include
#define maxn 100005
#define LL long long
using namespace std;
char cb[1<<18],*cs,*ct;
#define getc() (cs==ct&&(ct=(cs=cb)+fread(cb,1,1<<18,stdin),cs==ct)?0:*cs++)
inline void read(int &a){
    char c;while(!isdigit(c=getc()));
    for(a=c-'0';isdigit(c=getc());a=a*10+c-'0');
}
inline void write(LL x){
    if(x>=10) write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}
const LL inf = 1ll<<50;
struct Mat{
    LL s[2][2];
    Mat(){s[0][0]=s[0][1]=s[1][0]=s[1][1]=inf;}
    void init(LL *f){s[0][0]=s[0][1]=f[1],s[1][0]=f[0],s[1][1]=inf;}
    LL Min(){return min(s[0][0],s[1][0]);}
    Mat operator * (const Mat &B)const{
        Mat ret;
        ret.s[0][0]=min(s[0][0]+B.s[0][0],s[0][1]+B.s[1][0]);
        ret.s[0][1]=min(s[0][0]+B.s[0][1],s[0][1]+B.s[1][1]);
        ret.s[1][0]=min(s[1][0]+B.s[0][0],s[1][1]+B.s[1][0]);
        ret.s[1][1]=min(s[1][0]+B.s[0][1],s[1][1]+B.s[1][1]);
        return ret;
    }
};
namespace LCT{
    int ch[maxn][2],fa[maxn];
    LL f[maxn][2]; Mat g[maxn];
    #define il inline
    #define pa fa[x]
    il bool isr(int x){return ch[pa][0]!=x&&ch[pa][1]!=x;}
    il bool isc(int x){return ch[pa][1]==x;}
    il void upd(int x){g[x].init(f[x]),g[x]=g[ch[x][0]]*g[x]*g[ch[x][1]];}
    il void rot(int x){
        int y=fa[x],z=fa[y],c=isc(x);
        !isr(y)&&(ch[z][isc(y)]=x);
        (ch[y][c]=ch[x][!c])&&(fa[ch[y][c]]=y);
        fa[ch[x][!c]=y]=x,fa[x]=z;
        upd(y),upd(x);
    }
    il void splay(int x){
        for(;!isr(x);rot(x))
            if(!isr(pa)) rot(isc(pa)==isc(x)?pa:x);
    }
    il void access(int x){
        for(int y=0;x;x=fa[y=x]){
            splay(x);
            f[x][0]+=g[ch[x][1]].s[0][0]-g[y].s[0][0];
            f[x][1]+=g[ch[x][1]].Min()-g[y].Min();
            ch[x][1]=y,upd(x);
        }
    }
    il void modify(int x,bool v){access(x),splay(x),f[x][1]+=v?-inf:inf,upd(x);}
}
using namespace LCT;
int n,m,val[maxn];
int fir[maxn],nxt[maxn<<1],to[maxn<<1],tot;
inline void line(int x,int y){nxt[++tot]=fir[x],fir[x]=tot,to[tot]=y;}
void dfs(int u,int ff){
    fa[u]=ff,f[u][1]=val[u];
    for(int i=fir[u],v;i;i=nxt[i]) if((v=to[i])!=ff){
        dfs(v,u);
        f[u][0]+=f[v][1];
        f[u][1]+=min(f[v][0],f[v][1]);
    }
    g[u].init(f[u]);
}
int main()
{
    g[0].s[0][0]=g[0].s[1][1]=0;
    int a,x,b,y;
    read(n),read(m),read(x);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(val[i]);
    for(int i=1;i<n;i++) read(x),read(y),line(x,y),line(y,x);
    dfs(1,0);
    while(m--){
        read(a),read(x),read(b),read(y);
        modify(a,x),modify(b,y),splay(1);
        LL ans=g[1].Min()+(x+y)*inf;
        if(ans>=inf) puts("-1");
        else write(ans),putchar('\n');
        modify(a,!x),modify(b,!y);
    }
}