狄利克雷卷积

【狄利克雷卷积】

• 定义 f,g 两个函数的狄利克雷卷积 (∗) 运算为：

  (f∗g)(n)=∑d|nf(d)g(nd)

• 狄利克雷卷积的性质：

  • 交换律： f∗g=g∗f
  • 结合律： (f∗g)∗h=f∗(g∗h)
  • 分配率： f∗(g+h)=f∗g+f∗h
  • 单位元： f∗e=e∗f
  • 若 f,g 均为积性函数，则 f∗g 也为积性函数。

• 常见的狄利克雷卷积：

  • d(n)=∑d|n1即d=1∗1

  • σ(n)=∑d|nd即σ=d∗1

  • φ(n)=∑d|nμ(d)nd即φ=μ∗Id

  证明：

  因为Id(n)=∑i=1n∑j=1n[gcd(i,n)==j]
  则Id(n)=∑j|n∑i=1⌊nj⌋[gcd(i,nj)==1]
  那么Id(n)=∑j|nφ(nj)即Id=1∗φ
  根据反演可得φ=μ∗Id
  • ϵ(n)=∑d|nμ(d)即ϵ=μ∗1

  证明：

  令k表示n的不同的质因子数，可得∑d|nμ(d)=∑i=0k(−1)i(ki)
  通过二项式展开可得(x+y)k=∑i=0kxiyk−i(ki)

  ​

  将x=1,y=−1代入可得∑i=0k(−1)i(ki)=(1−1)k=0k
  所以只有当k=0(即n=1)时，∑d|nμ(d)=1，否则∑d|nμ(d)=0
  所以ϵ(n)=∑d|nμ(d)