【欧拉公式】借助简单的球面几何证明欧拉公式

前言

在初中课本,就有提到欧拉公式,即对于一个多面体,存在点+面-线=2,简记口决为“小二,点碗面线”。若设点数为n,面数为r,线数为m,则可表记为

在图论中,对于平面图,该公式也成立。这两个情形其实是同一种状况。

用数学归纳法可以证明该公式,但在高中数学中,还有另一种特殊的方法——利用球面几何。

预备知识

在平面中,k边形内角和

但在半径为1的球面上,k边形内角和 ,其中S为k边形的面积。

证明过程

像吹气球一样的方法,将多面体吹成每条边都铺在半径为1的单位球面上,就像足球上的花纹一样。设点数为n,面数为r,线数为m。

每个点周围角的和为 (包括平角、优角和周角),则所有角的和为 。

对于每个多边形,设其边数为 ,面积为 ,则其内角和为 。所有多边形内角和等于所有角的和 ,由于每条边被两个多边形共用(或被一个多边形使用两次),所以:

联立得:

后记

这是课本上的方法,证明过程比其它方法简短得多,但我在网络上没找到,所以写在这里和大家分享。球面几何和正常的几何有些差别,看着还是很有意思的。它也可以为之后学习黎曼几何、喷咖喱模型、客来阴模型做准备。

对于凹多面体是否能铺在球面上,以及空心体、复杂多面体等情况,在这不做介绍。

参考资料

人教版 高中数学选修 球面上的几何

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