欧拉公式之美
如何通俗易懂地解释欧拉公式（e^πi+1=0）？
欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”
1、从自然数扩张到整数：增加的负数对应着“负债，减少”
2、从整数扩张到有理数：增加的分数可以对应“分割、部分”
3、从有理数扩张到无理数：增加的无理数可以对应“三角形的对角线的长度”
4、从无理数扩张到复数：增加的虚数对应任何实数的旋转状态
（虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。）
1、在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：
2、复平面上乘法的几何意义
欧拉公式
对于 ，有
将 代入 可得：
3、对同一个点不同的描述方式
4、为什么 是圆周运动？
定义 为：
这是实数域上的定义，可以推广到复数域根据之前对复数乘法的描述，乘上 是进行伸缩和旋转运动， 取值不同，伸缩和旋转的幅度不同
和 。三角函数定义域被扩大到了复数域
我们把复数当作向量来看待，复数的实部是 方向，虚部是 方向，很容易观察出其几何意义。
2.6 欧拉恒等式
当 的时候，代入欧拉公式：
。
就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式， 、 、 、乘法单位元1、加法单位元0，这
五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。
转载：https://www.zhihu.com/question/41134540
1、虚数乘法的数学证明为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？
任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展开后面的乘式，得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ)
根据三角函数公式，上面的式子就等于
cos(α+β) + isin(α+β)
所以，
( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β))
这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。
2、虚数的作用：乘法如果涉及到旋转角度的改变
比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？
45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：( 3+ 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。
3、虚数的作用：加法虚数的引入
比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i，请问它们的合成力是多少？
根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i)。
这就是虚数加法的物理意义。
4、复数的定义既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态
只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。
数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。
5、什么是虚数？首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。
这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
因此，我们可以得到下面的关系式：
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) =(-1)如果把+1消去，这个式子就变为：
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i ：
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。
所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。
图1
图2
图3（三个函数图）
复数可以用向量表示,且复数的加减法也同于向量的加减法,但复数有乘法,向量有没有与复数对应的乘法呢?
既有大小又有方向的量叫做向量。
3、向量的和的模
4、数量积
向量的数量积的坐标表示： a· b=x·x'+y·y'。
后续。。。。。。