主成分分析（pca）算法原理

图像处理中对很多副图片提取特征时，由于特征的维数过高而影响程序的效率，所以用到pca进行特征降维。

那怎样才能降低维数呢？它又用到了什么数学方法呢？

1.协方差矩阵

        假设有一个样本集X，里面有N个样本，每个样本的维度为d。即：

将这些样本组织成样本矩阵形式，即每行为一个样本，每列为一个维度，得到样本矩阵T；根据协方差矩阵公式

其中为均值，n为样本数。可以先将样本矩阵中心化，即将每个维度减去对应的均值，得到中心化矩阵S,因此

协方差矩阵可以简单的表示为：

2.将协方差矩阵对角化

       因为协方差矩阵是对称矩阵，对称矩阵对角化就可以得到一个正交矩阵P，且满足：

其中Λ为协方差矩阵的特征值所组成的对角阵，而P为每一个特征值所对应的的特征向量组成的矩阵。

3.取前p（p1，其对应的p个新的特征向量组成的新的矩阵为P1

        这样使得比P小了d-p个维度，从而达到降维的目的，只要求出降维后的样本矩阵，pca降维的目的就可以达成了。

  新的样本矩阵各个维度间的协方差基本为零，也就是说的协方差矩阵应该为Λ1。即满足：

而又有公式：

带入可得：

                      

由于样本矩阵的每一行是一个样本，特征向量矩阵是每一列的一个特征向量。右乘相当于每个样本

以的特征向量为基进行线性变换，得到新的样本矩阵中每个样本的维数变为了p，完成了降维的操作。

实际上P1中的特征向量就是低维空间的新的坐标，称之为“主成分”。这就是“主成分分析”的名称由来。同时的协方差矩阵

为近对角阵，说明不同维度间已经基本独立。至此，整个pca的过程已经结束。

在这里，要注意的是，在上面第3点中选择特征值（也就是选择主成分）是按照贡献率来的，而不是随便选取p个主成分。

其实也就是选取特征值大的，丢弃特征值较小的，因为特征值越大，对应的特征向量（也即主成分）包含的信息量越大。

贡献率是指选取的p个特征值之和占全部特征值之和的比重，一般为85%以上。公式如下：

总的来说，pca就是选取协方差矩阵的特征值较大的，忽略特征值较小的，因为特征值较小的对应的特征向量包含的信息量较小，

可以忽略，也就是说，丢弃次要的成分，保留主要的成分，从而达到降低维数。