数值分析-拉格朗日中值定理与积分中值定理

拉格朗日中值定理

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拉格朗日中值定理的几何意义

如果函数f(x)满足

1. 在闭区间[a,b]上连续；
2. 在开区间(a,b)内可导，

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a < ξ < b)，使等式

成立。此定理称为拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

 

积分中值定理

积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。

 积分第一中值定理

设  为一连续函数， 为一正的可积函数，那么存在一点  使得

。

 证明

因为 f 是闭区间上的连续函数，f 取得最大值 M 和最小值 m。于是

。

对不等式求积分，我们有

。

若 ，则 。ξ 可取 [a,b] 上任一点。

设 ，那么

。

因为 是连续函数，则必存在一点 ，使得

。

积分第一中值定理推论的几何意义

推论（拉格朗日中值定理的积分形式）

在上式中令g(x) = 1，则可得出：

设  为一连续函数，则∃，使

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设F(x)在[a,b]上可导，，则∃，使

 积分第二中值定理

积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel 反常 Rieman 积分判别法。

内容

若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使

；

退化态的几何意义

令g(x)=1，则原公式可化为：

；

进而导出：