高数 03.01微分中值定理

第三章微分中值定理与导数的应用 

中值定理{罗尔中值定理拉格朗日中值定理  
↓ 
应用{研究函数性质及曲线形态利用导数解决实际问题  

第三章第一节微分中值定理 

一、罗尔(Rolle)定理
二、拉格朗日中值定理

一、罗尔(Rolle)定理 

费马(1601-1665,法国数学家，律师。
费马大定理：当n>2时,方程x n +y n =z n 无整数解 
至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值和最小值的方法中提炼出来的。

费马(fermat)引理: 
y=f(x)在⋃(x 0 )有定义,且f(x)≤f(x 0 ),f ′ (x 0 )存在(或≥) ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⟹f ′ (x 0 )=0 
证：设∀x 0 +Δx∈⋃(x 0 ),f(x 0 +Δx)≤f(x 0 ),则f ′ (x 0 )=lim Δx→0 f(x 0 +Δx)−f(x 0 )Δx  
={f ′ − (x 0 )≥0(Δx→0 − )f ′ + (x 0 )≤0(Δx→0 + ) ⟹f ′ (x 0 )=0 

罗尔(Rolle)定理y=f(x)满足：(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)⟹在(a,b)内至少存在一点ξ,使f ′ (ξ)=0. 
证：因f(x)在[a,b]上连续,故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b],因此∀ξ∈(a,b),f ′ (ξ)=0.若M>m,则M和中至少有一个与端点值不等,不妨设M≠f(a),则至少存在一点ξ∈(a,b),使f(ξ)=M,则由费马引理得f ′ (ξ)=0. 
注意:1)定理条件不全具备,结论不一定成立.例如F1, 
f(x)={x,0≤x<10,x=1  
在[0,1)连续,在x=1处不连续，在[0,1]上不连续，即条件1)不满足,在(0,1)可导,f ′ (x)=1,f(0)=f(1)=0,无法找到ξ∈(0,1),使得f ′ (ξ)=0 

例如F2:f(x)=|x|,x∈[−1,1]在[−1,1]连续,在(−1,1)内不可导,不满足条件2),f(−1)=f(1)=1,对于ξ∈(−1,1),找不到f ′ (ξ)=0 

例如F3:f(x)=x,x∈[0,1]在[0,1]连续,在(0,1)内可导,f ′ (x)=1f(0)≠f(1),不满足条件3)对于ξ∈(0,1),找不到f ′ (ξ)=0 

2)定理条件只是充分的.本定理可推广为y=f(x)在(a,b)内可导,且lim x→a +  f(x)=lim x→b −  f(x)⟹在(a,b)内至少存在一点ξ,使f ′ (ξ)=0. 
证明提示：设F(x)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ f(a + ),x=af(x),a<x<bf(b − ),x=b 证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理. 

例1.证明方程x 5 −5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根. 
证：1)存在性.设f(x)=x 5 −x+1,则f(x)在[0,1]连续,且f(0)=1,f(1)=−3.由介值定理知存在x 0 ∈(0,1),使得f(x 0 )=0,即方程有小于1的正跟x 0 .2)唯一性.假设另有x 1 ∈(0,1),x 1 ≠x 0 ,使f(x 1 )=0,∴f(x)在以x 0 ,x 1 为端点的区间满足罗尔定理条件,∴在x 0 ,x 1 之间至少存在一点ξ,使f ′ (ξ)=0.但f ′ (x)=5(x 4 −1)<0,x∈(0,1),矛盾,故假设不真 

二、拉格朗日中值定理 

拉格朗日中值定理:y=f(x)满足：(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导⟹至少存在一点ξ∈(a,b),使f ′ (ξ)=f(b)−f(a)b−a  
[存在切线是两个端点连线的平行线的切点] 
证：(思路：利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数)问题转化为证f ′ (ξ)−f(b)−f(a)b−a =0作辅助函数φ(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a x显然,φ(x)在[a,b]s上连续,在(a,b)内可导,且φ(a)=bf(a)−af(b)b−a =φ(b),由罗尔定理知至少存在一点ξ∈(a,b),使φ ′ (ξ)=0,即定理结论成立. 

拉格朗日中值定理的有限增量形式:令a=x 0 ,b=x 0 +Δx,则Δy=f ′ (x 0 +θΔx              )Δx(0<θ<1) 
ξ 
推论：若函数f(x)在区间I上满足f ′ (x)≡0,则f(x)在I上必为常数. 
证：在I上取任意两点x 1 ,x 2 (x 1 <x 2 )，在区间[x 1 ,x 2 ]上用拉格朗日中值定理,得f(x 2 )−f(x 1 )=f ′ (ξ)(x 2 −x 1 )=0(x 1 <ξ<x 2 )∴f(x 2 )=f(x 1 )由x 1 ,x 2 的任意性知,f(x)在I上必为常数 

例2.证明等式arcsinx+arccosx=π2 ,x∈[−1,1]. 
证：设f(x)=arcsinx+arccosx,则在(−1,1)上f ′ (x)=11−x 2  − − − − −  √  −11−x 2  − − − − −  √  ≡0由推论可知f(x)=arcsinx+arccosx=C(常数)令x=0,得C=π2 .又f(±1)=π2 ,故所证等式在定义[−1,1]上成立.经验：欲证x∈I时f(x)=C 0 ,只需证在I上f ′ ≡0,且∃x 0 ∈I,使f(x 0 )=C 0 .自证:arctanx+arccotx=π2 ,x∈(−∞,+∞) 

例3.证明不等式x1+x <ln(1+x)<x(x>0). 
证：设f(t)=ln(1+t),则f(t)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理条件,f(x)−f(0)=f ′ (ξ)(x−0),0<ξ<xln(1+x)−0=11+ξ ⋅x,0<ξ<x即ln(1+x)=x1+ξ ,0<ξ<x∵x1+x <x1+ξ <x∴x1+x <ln(1+x)<x(x>0) 

内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系费马引理罗尔定理⟺拉格朗日中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键：利用逆向思维,设辅助函数