单变量微积分笔记—— 积分方法之换元法总结（简单换元和三角换元）

换元法求解积分

这一篇将会结合一些例题总结如何用换元法求解积分，其中最重要的就是三角换元了。听完了MIT 18.01相关的课程后又觉得大一白学了哈哈。Let’s start it!

简单换元法

思路

当我们遇到一些形如 $\int f(x)dx$ 的积分表达式并不能通过我们已知的导数和积分对儿来求解的时候（常见的对儿有$x^n$，$ln(x)$等等），我们就需要用$u(x)$把 $f(x)dx$ 中的自变量 $x$ 替换掉，找到那些反导数好求解的被积函数 ，即 $g(\cdot )$，然后通过 $\int g(u(x))du(x)$ 来间接求解原函数$f(x)$的反导数或定积分。

举例

（本例来自于18.01讲义session 38a)
求积分：
$$\int x^3(x^4+2{)}^{5}dx$$

本例中$f(x)=x^3(x^4+2{)}^5$，我们并不能直接找到其反导数（或不定积分），这时就需要想办法换元。
令$u(x)=x^4+2$，或简记为$u=x^4+2$，等号两边同时取微分，可以得到：
$$du=4x^{3}dx$$
代入原式,
$$\int x^3(x^4+2{)}^{5}dx=\int u^5\frac{du}{4}=\frac{1}{4}\int u^{5}du=\frac{1}{24}{u}^6+C$$
把$u$换回$x$，可以得到最后答案
$$\int x^3(x^4+2{)}^{5}dx=\frac{1}{24}(x^4+2{)}^6+C$$

三角换元法

上面的换元法可以说非常直接了，但换元法的重中之重我觉得还是三角换元，思路是在原函数 $f(x)$ 中找到符合三角恒等式的规律，然后将自变量 $x$ 替换成对应的三角函数。接下来我先总结一下三角换元中比较好用的三角恒等式，再具体介绍常用的换元类型，最后说一下一些特殊情况。

基本三角恒等式

这里借此机会我先回顾下常用的三角恒等式：

$$co{s}^2\theta +si{n}^2\theta =1$$$$cos2\theta =co{s}^2\theta -si{n}^2\theta$$$$co{s}^2\theta =\frac{1+cos2\theta }{2},si{n}^2\theta =\frac{1-cos2\theta }{2}$$$$sec\theta =\frac{1}{cos\theta },tan\theta =\frac{sin\theta }{cos\theta }$$$$ta{n}^2\theta =se{c}^2\theta -1$$$$\frac{d}{d\theta }tan\theta =se{c}^2\theta d\theta$$$$\frac{d}{d\theta }sec\theta =sec\theta tan\theta d\theta$$
还要注意下$sec\theta$的积分推导$$\int sec\theta d\theta =ln|sec\theta +tan\theta |+C$$
推导过程比较简单，会的可以直接跳过。构造函数$u=sec\theta +tan\theta$，可以得到
$$du=sec\theta (sec\theta +tan\theta )d\theta =usec\theta d\theta$$$$\frac{du}{u}=sec\theta d\theta$$$$\int sec\theta d\theta =\int \frac{du}{u}=ln|u|+C=ln|sec\theta +tan\theta |+C$$

常用换元类型

三种类型及二次换元

被积函数包含	替换方法	得到的结果
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=acos\theta$ 或者 $x=asin\theta$	$asin\theta$或者$acos\theta$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=atan\theta$	$asec\theta$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=asec\theta$	$atan\theta$

在第一次换元之后，我们还需要把得到的式子还原回以 $x$ 为变量的函数（也就是二次换元），这时就需要构造一个特殊的直角三角形，用以下的例子来说明：
求解 $tan(si{n}^{-1}x)$ 的值：
令 $\theta =si{n}^{-1}x$，即$sin\theta =x$，画出符合要求的直角三角形:

可以看出$$tan(si{n}^{-1}x)=tan\theta =\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

其他具体的积分运算请参考之后的相关例题。

非纯平方项的情况

除了上述三种情况之外，有时候根号下会出现一次项，比如$\sqrt{x^2+4x}$，遇到这类情况时的思路是配方（completing the square），即$\sqrt{x^2+4x}=\sqrt{(x+2{)}^2-4}$，其中 $a=2$，再令$u=x+2=2sec\theta$即可。

相关例题

求不定积分：
$$\int x\sqrt{x^2-9}dx$$
第一次换元：令$x=3sec\theta$，$dx=3sec\theta tan\theta d\theta$，$\sqrt{x^2-9}=3tan\theta$，原式即可整理为：
$$\int x\sqrt{x^2-9}dx=\int 27ta{n}^2\theta se{c}^2\theta d\theta$$
令$u=tan\theta$，$du=se{c}^2\theta$
$$\int 27ta{n}^2\theta se{c}^2\theta d\theta =27\int u^{2}du=9u^3+C=9ta{n}^3\theta +C$$
第二次换元（还原自变量）：
先构造符合要求$sec\theta =x/3$的三角形：

从图中可以看出：
$$tan\theta =\frac{\sqrt{x^2-9}}{3}$$
最后带入到原式可以得到：

$$\int x\sqrt{x^2-9}dx=9ta{n}^3\theta +C=\frac{1}{3}(x^2-9{)}^{2/3}+C$$

（注意！在求定积分的时候一定要注意积分上下限的替换！！！！）

特殊情况——反三角函数的积分和导数

反三角函数的求导也涉及了构造三角形法，比如求$\frac{d}{dx}ta{n}^{-1}x$和$\frac{d}{dx}si{n}^{-1}x$。

由已知条件：$y=ta{n}^{-1}x$，即$x=tany$。两边同时对$x$求导并运用链式法则可以得到：
$$\frac{d(tany)}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=1$$$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{se{c}^{2}y}=co{s}^{2}y$$通过构造三角形，可以发现：
$$\frac{d(ta{n}^{-1}x)}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$$
同理可以得到:
$$\frac{d(si{n}^{-1}x)}{dx}=sec(si{n}^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
对应的积分表达式为：
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=si{n}^{-1}x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=ta{n}^{-1}x+C$$