本文内容对应我的博客中微积分笔记总目录下的第一章,导数和微分。
几何直观解释:
图中的绿色虚线代表了函数 f ( x ) f(x) f(x) 的一条割线(secant line),即经过函数图像任意两个不重复的点的直线。直观的解释就是当这两个点( P P P 和 Q Q Q)无限接近的时候,这条割线就和曲线 f ( x ) f(x) f(x) 只有一个交点,即在点 P P P 的切线,也被称为点 P P P 的导数。
代数定义:
函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x = x 0 x=x_0 x=x0 的导数被定义为:
f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x 0 ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x_0)-f(x_0)}{\Delta x} f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx0)−f(x0)
简而言之,导数本质上就是变化率的极限,或者是无穷小的区间内的变化率,也就是瞬时变化率。式子 f ( x 0 + Δ x 0 ) − f ( x 0 ) Δ x \frac{f(x_0+\Delta x_0)-f(x_0)}{\Delta x} Δxf(x0+Δx0)−f(x0) 是等价于上图中P,Q两点连线的斜率的。
导数的相关符号(Notations)
导数的相关符号有很多,主要还是牛顿记法和莱布尼茨记法的区别(遇到复杂的问题更多两种记法的结合,但是莱布尼茨这种记法确实间接地促进了微积分的发展)
1. 牛顿记法:Newton’s Notations
当 Δ x → 0 \Delta x\to 0 Δx→0,
Δ y Δ x → f ′ ( x ) \frac{\Delta y}{\Delta x}\quad \to \quad f'(x) ΔxΔy→f′(x)
2. 莱布尼茨记法:Leibniz’s Notations
当 Δ x → 0 \Delta x\to 0 Δx→0,
Δ y Δ x → d y d x o r d f ( x ) d x o r d d x f ( x ) \frac{\Delta y}{\Delta x}\quad \to \quad \frac{dy}{dx}\quad or\quad \frac{df(x)}{dx}\quad or\quad \frac{d}{dx}f(x) ΔxΔy→dxdyordxdf(x)ordxdf(x)
在求导之前,我们先要看看原函数是什么类型的,如果是显式函数(都能写成 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的类型),我们可以直接记住某些函数的求导结果,或是用求导法则亦或是定义来求导,但是遇到隐式函数(可以写成 f ( x ) + g ( y ) = C f(x)+g(y)=C f(x)+g(y)=C, C C C 为常数)的时候,我们只能通过一些技巧tricks来求解。
显示函数求导法则总结:
链式法则:(Chain Rule)——复合函数
如果函数只能写成 f ( g ( x ) ) f(g(x)) f(g(x)) 的形式,那么以上方法也许行不通了。这时候我们就要用链式法则:
lim Δ t → 0 Δ y Δ t = d y d t = d y d x ⋅ d x d t \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} Δt→0limΔtΔy=dtdy=dxdy⋅dtdx
链式法则的基本思路就是换元了,把一个复杂的函数进行拆解。
举个例子,求解函数 y = sin 10 t y=\sin^{10}t y=sin10t 的导数。
第一步,令 x = sin t x=\sin t x=sint,则 y = x 10 y=x^{10} y=x10;
第二步,用链式法则分步求解导数:
d d t sin 10 t = d d x x 10 ⋅ d d t sin t = 10 sin 9 t cos t \frac{d}{dt}\sin^{10}t=\frac{d}{dx}x^{10}\cdot\frac{d}{dt}\sin t=10\sin^9t\cos t dtdsin10t=dxdx10⋅dtdsint=10sin9tcost
需要注意的是,如果以上方法都求不出来导数,那么只能用定义来求解了。在这一过程中,求极限是关键,下文也会讲解如何处理特殊的极限。
步骤:
定义
从上文导数的定义式和相关记法中可以看出:
d y d x = f ′ ( x ) \frac{dy}{dx}=f'(x) dxdy=f′(x)
这里如果我们把 d y , d x dy,\ dx dy, dx 视为单独的变量(和 Δ y , Δ x \Delta y,\ \Delta x Δy, Δx相对应),即无穷小量。
通过移项,我们可以得到,
d y = f ′ ( x ) d x dy=f'(x)dx dy=f′(x)dx
这就是函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的微分形式了。简而言之,无穷小量的商就是函数 f ( x ) f(x) f(x) 的导数。
导数的根本还是极限,一般情况下,极限非常好求,只需要带入极限端点的值到原函数即可。但遇到不定型(Indeterminate Form)的情况( 0 / 0 , ± ∞ / ± ∞ , 0 ⋅ ± ∞ 0/0,\ \pm\infty/\pm\infty ,\ 0\cdot\pm\infty 0/0, ±∞/±∞, 0⋅±∞ 等等)时并不能直接用代入法求解。洛必达法则可以解决这类问题。
a. 洛必达法则第一类情况的定义:
假设求解的极限是:
lim x → a f ( x ) g ( x ) \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} x→alimg(x)f(x)并且 f ( a ) = g ( a ) = 0 f(a)=g(a)=0 f(a)=g(a)=0( 0 / 0 0/0 0/0的形式)
洛必达法则规定:
lim x → a f ( x ) g ( x ) = f ′ ( a ) g ′ ( a ) \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)} x→alimg(x)f(x)=g′(a)f′(a)
第一类情况的简单证明
lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( x ) x − a g ( x ) x − a = lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a g ( x ) − g ( a ) x − a = lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a lim x → a g ( x ) − g ( a ) x − a = f ′ ( a ) g ′ ( a ) \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{\frac{f(x)}{x-a}}{\frac{g(x)}{x-a}}=\lim_{x\to a}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\frac{\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\frac{f'(a)}{g'(a)} x→alimg(x)f(x)=x→alimx−ag(x)x−af(x)=x→alimx−ag(x)−g(a)x−af(x)−f(a)=limx→ax−ag(x)−g(a)limx→ax−af(x)−f(a)=g′(a)f′(a)
b. 第二类情况的定义
洛必达法则在以下条件下也是成立的:
洛必达法则不仅可以处理 0 / 0 0/0 0/0形式,也可以处理 ∞ / ∞ \infty/\infty ∞/∞ 的形式。但是要注意的是洛必达法则不能应用在 f ′ ( a ) g ′ ( a ) \frac{f'(a)}{g'(a)} g′(a)f′(a)震荡剧烈的情况。
(提示hints:如果遇到形如 0 ⋅ ± ∞ 0\cdot\pm\infty 0⋅±∞的情况,可以将其转化为 0 / 0 0/0 0/0和 ∞ / ∞ \infty/\infty ∞/∞的情况, 0 = 1 ∞ , ∞ = 1 0 0=\frac{1}{\infty},\ \infty=\frac{1}{0} 0=∞1, ∞=01)
函数连续性定义:
如果 lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) limx→x0f(x)=f(x0),那么函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x = x 0 x=x_0 x=x0处是连续的。
左连续和右连续
函数的连续性说明了:
首先 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x = x 0 x=x_0 x=x0 处有定义,也就是 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 存在。
其次,函数的左右极限是相等的(所谓的左极限就是从函数左侧朝点 x = x 0 x=x_0 x=x0看去,右极限同理)。即,
lim x → x 0 − f ( x ) = lim x → x 0 + f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0) x→x0−limf(x)=x→x0+limf(x)=f(x0)
不连续的情况
定理——“可微必连续”
内容:如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x = x 0 x=x_0 x=x0 处是可导的,那么函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处连续。
简单证明
已知条件是:
lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)是存在的。
如果令 Δ x = x − x 0 \Delta x=x-x_0 Δx=x−x0(简单换元),则上面的式子等价于
lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
我们要证明的是: lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) limx→x0f(x)=f(x0) (函数连续性的定义式),通过移项也就是:
lim x → x 0 [ f ( x ) − f ( x 0 ) ] = 0 \lim_{x\to x_0}[f(x)-f(x_0)]=0 x→x0lim[f(x)−f(x0)]=0
等价于,
lim x → x 0 [ f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 ] ⋅ ( x − x 0 ) \lim_{x\to x_0}[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}]\cdot(x-x_0) x→x0lim[x−x0f(x)−f(x0)]⋅(x−x0) = f ′ ( x 0 ) ⋅ lim x → x 0 ( x − x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ⋅ 0 = 0 =f'(x_0)\cdot\lim_{x\to x_0}(x-x_0)=f'(x_0)\cdot0=0 =f′(x0)⋅x→x0lim(x−x0)=f′(x0)⋅0=0
这也就证明了 lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) limx→x0f(x)=f(x0)是成立的。
MIT 18.01单变量微积分讲义: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/unit-5-exploring-the-infinite/part-b-taylor-series/