台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记（23） linear systems

台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记（23） linear systems

linear system线性系统

线性系统和线性方程组实际上是解决的两类不同的问题。

下面一个系统。这个系统 是一个矩阵，然后有input，让你求output

这个系统的关系： the relation between system matrix and output

这个线性系统的矩阵表示：

note the difference between the two formulation
为了说明和线性方程组的区别：请看下图

线性方程组和线性系统的区别：
线性方程组：知道output，想知道input
线性系统：不知道output，知道input，好奇经过线性系统后，output是什么

Eigenvalues and Eigenvectors特征值和特征向量

特征向量： 找到一个向量v，使得矩阵A v= λ v，其中，拉姆达λ是常数
这样，就可以把这个复杂的矩阵A用常数拉姆达取代

然后把b分解，变成特征向量的分解，使得计算简化

下面解释特征值和特征向量

interpretation of Eigenvalues and Eigenvectors

系统中，当eigenvetor 作为 系统的 Input的时候，我们需要查看这些input（特征向量）是放大还是缩小

通过具体的实例来看
下面给出一个很简单的矩阵A（系统）,它有两个特征值和特征向量


经过A系统之后被放大：

下面我们来看如何求解特征值和特征向量

solving eigenvalues and eigenvectors

假设今天要算的问题是：

求出来矩阵A的特征值和特征向量

然后让b这个向量在特征向量方向上进行分解：

下一步：代入化简：

于是就有：

在matlab中怎样求特征值和特征向量？

函数eig()

使用方法：[v,d]= eig([2 -12; 1 -5])
参数的含义：v是特征向量（v1 和 v2）【注意是列向量】
d是特征值：λ
看例子：

代码：

[v,d]= eig([2 -12; 1 -5])

得到的结果：v是特征向量（v1 和 v2）【注意是列向量】
d是特征值：λ

下面
matrix exponential :expm()
典型的线性时不变系统：

系统是微分系统，怎么解
下面是老师给出的代码，让阅读，并且没有注释
matlab代码：
A=[ 0 -6 -1; 6 2 -16; -5 20 -10];
x0=[1;1;1];
X=[];
for t =0:.01:1
X= [X expm(t*A)*x0];
end

plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),’-o’);

xlabel(‘x_1’);
ylabel(‘x_2’);
zlabel(‘x_3’);
grid on;
axis tight square;

A=[ 0 -6 -1; 6 2 -16; -5 20 -10];
x0=[1;1;1];
X=[];
for t =0:.01:1
 X= [X expm(t*A)*x0];
end

plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),'-o');

xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
grid on;
axis tight square;

运行结果：

【总结一下】
本文记录了线性系统的知识。讲解了特征值（eigenvalue）和特征向量(eigenvector)的原理，学会了求解矩阵的特征值和特征向量的函数eig()