多变量微积分笔记1——偏导数

在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的“变化率”。

　　在xOy平面内，当动点由P(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。

　　在这里我们只学习函数f(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，f(x,y)的变化率。

　　偏导数的表示符号为:∂，全导数符号d的变体。

　　偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

三维空间的函数

曲面

　　三维空间的函数可以用 z = f(x, y)表示，如果把f(x, y)中的两个变量图像化，将得到空间的某个曲面（三维空间的图像很难在纸上画出来，画图的工作还是交给计算机好了）：

f(x, y) = -y

f(x,y) = 1 - (x2 + y2)

等高线

　　平面直角坐标系中，通过(x, y)可以定位任意位置，在此基础上，可以借助等高线描述第三个维度。

　　实际上我们对等高线并不陌生：

　　如果你在爬山，沿着等高线会从山的一点走到另一点，行走过程中海拔不变，这相当于把高度映射到了平面上：

　　实际上第三个维度也可以用颜色表示，比如常见的气温图：

　　两个不同颜色之间其实就是一个函数的等高线，把颜色换成线条就变成了地理上学过的等温线：给定经纬度，输出温度，即z = f(x, y)

偏导数

什么是偏导数

　　现在有下图的等高线：

　　很容易得出下面的结论：

　　当 x增大时，z增大，x减小，z减小；当 y增大时，z增大，y减小，z减小。如果试图分析f的变化速度，就需要用到导数，只不过这次是对含有两个变量的函数求导，也就是所谓的求偏导。

　　偏导中的“偏”，指仅对其中一个变量求导，而不管另外的变量（偏导是partial derivatives，partial翻译成“部分”也许更好理解），因此，一个多变量的函数没有通常的导数，它只有关于每个变量的偏导数。与单变量函数的导数相似，偏导数的公式：

 

　　上面就是求f(x, y)在x0和y0处的偏导。以第一个式子为例，在这里，并没有改变y的值，仅仅改变x，然后观察函数的变化率。

偏导数的几何意义

　　偏导数表示固定面上一点的切线斜率。

　　在z = f(x,y)中，如果保持y不变，那么f将依赖于x的变化，这将得到一个和xz平行的平面p，p与f(x, y)平面切面的交线就是曲线f(x, y0)，偏导数f'x(x0,y0)就是交线上一点对x轴的切线的斜率，当然它也只能对x轴，此时的切线和y轴没什么关系。如果保持x不变，就是y的偏导，偏导数f'y(x0,y0)就是交线上一点对y轴的切线的斜率。

偏导数的计算

　　偏导的计算和单变量导数类似，只是把其中一个变量看成常量。

　　两个偏导分别将y和x看作常数。

二阶偏导

　　二阶偏导就是求偏导的偏导，过程和求偏导类似，将另一个变量看作常数：

　　对x的偏导表示在x方向的斜率，对x的二阶偏导就是斜率的变化率，也就是斜率的变化率快慢，这同单变量函数的二阶导数类似。

 

近似

 

　　在单变量函数中，假设一般函数上存在点(x0, f(x0))，当x接近基点x0时，可以使用函数在x0点的切线作为函数的近似线。函数f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x- x0)即称为函数f在x0点的线性近似或切线近似。在多变量函数中也同样有近似的概念。关于近似的更多内容，可参考《数学笔记6——线性近似和二阶近似》

　　对于函数f(x, y)：

　　偏导表示变化率，对于x的偏导，函数变化程度是fx，对于y的偏导，函数变化程度是fy，如果同时改变x和y两个变量，变化程度就是两个效果的累加。如果x和y同时变化了Δx和Δy，那么z = f(x, y)的值将会改变Δz：

 

　　z在f(x0,y0)附近的近似：

　　这就是将两个变量同时加以扰动，从而对函数造成影响。

 

　　上面的公式在fx和fy都是0的情况下就变成了f(x0+ Δ, y0 + Δy) ≈f(x0, y0)，这看起来不怎么好，此时就需要用到二阶偏导：

　　z在f(x0,y0)附近的近似：

示例

示例1

　　为z = x2和z = (x2 + y2)1/2两条曲线构图。

示例2

　　

 

示例3

 

　　矩形的长和宽分别是x和y，当x = 2.1，y = 2.8时计算矩形的面积。

　　可以很容易计算出确切的数值：

 

　　下面尝试用偏导的近似去计算：

 

 

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　　作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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