12.混淆——介绍，傅里叶变换抽样对，采样和重建_1

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介绍

傅里叶变换抽样对

采样和重建

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介绍

这将是我们最后一节课这是关于频率分析的。 而且我敢打赌你对此感到高兴，因为它在数学的臭氧中已经消失了，并且很难将它拉回到我们在操作图像方面所做的工作上。但这是很重要的，事实上今天我们会讲到，"什么是致命的抵抗" 我的法语很糟糕。好的，我真正想讲的是频率如何解释混叠的概念。如果你还记得我们讲过的傅里叶基集我们用正弦基分解东西。这是我们用来表示它的图片（如图）。

然后我们讨论了空间域卷积和频域乘法之间的关系。我们在这里用数学展示了它。 我们说如果g是一些函数f和h的卷积（图1），我们可以推导出空间域中的卷积是频域中的乘法（图2）。

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这就是这样的。 而且，顺便说一下，对于今天来说，空间域中的乘法是频域中的卷积非常重要（如图）。

你可能会问，我们什么时候把函数相乘。答案：本次内容。它会是一些非常特殊的函数，但我们今天会做。我们也展示了一些傅里叶对（如图）。这里的图片，我们讲过高斯的傅里叶变换是另外一种高斯函数（图片第五行）。我们说过脉冲是垂直的（图片第一行）。我们谈到了盒子过滤器给你这个下降的东西和解释了振铃效应（图片第三行）。

傅里叶变换抽样对

但是我还需要你们知道另外一对。我们不打算推导这个但它很重要。这就是脉冲序列或者一组脉冲的概念。这是一个脉冲序列，你们可以在这里看到（如图左边）。

脉冲序列的傅里叶变换是另一个脉冲序列（如图右边）。你需要意识到的是，记住缩放定理给了我们这个还有很多东西给了我们这个，对吧?

 当空间中的脉冲离得越来越远（如图左），频率中的脉冲就会越来越近（如图右）。这是一种手摇的思考方式。想象一下我们的脉冲离得很远，Okay?  到目前为止，我在中间有一个脉冲，而下一个脉冲是无限远的。这就像一个单一的脉冲，这是手卷部分，单一脉冲的傅里叶变换是多少? 我们说过它是1因为一个脉冲会返回，当你可以把它包括进来的时候，它会返回整个图像。因此频率必须保持所有的频率，所以这个问题的思路是，当我在空间中伸展我的脉冲时，我必须把所有这些脉冲和频率无限地挤在一起以形成一个实棒。这是一种思考脉冲序列的傅里叶变换如何成为另一个脉冲序列的方法，当它们在空间中变大时，它们的频率就会越来越近。

采样和重建

现在我们开始讲采样和混叠。在这之前，我们要讨论采样的概念，重建的概念。这里我们有一个很好的光滑的场景（左图），用光源照明（如图中间），然后我们有一个成像系统（如图中间的右边正方形）它能捕捉到一些离散位置的强度（右图）。

当然，我们想要从这些离散的地方捕捉到的东西（左图），并且能够重建这个漂亮的，平滑的信号（右图）。那就是知道那个信号是什么。

我们来谈谈采样（Sampling）。当我们想到如何在电脑中储存连续信号时，采样就出现了。这里我们有一个连续信号（如图），这是1D（如图上面），我们今天会在1D做很多东西因为这样更容易画。因此，表达它的显而易见的方式，实际上并不是唯一的方法，因为你可以想象不同的聪明的基础类型的东西，但通过样本的一种正常的思考方式。也就是说，您只需在每个不同的位置取样，然后记下值（如图）。

一旦你有了这组样本，你想要做的就是重建原始信号，对吗？ 你为什么要这样做？ 好吧，也许你真的想要使用信号，你想玩它。如果这是音频，你想通过扬声器播放。我不需要样品，我需要一个连续的电压。或者我想做一些分析或者数学处理来思考这个信号是什么。本质上，你要做的是你要猜出每个样本之间发生了什么。这就是你能做的。在离散的地方有样本（如图），但你需要把这些点连起来。你需要了解发生了什么。

今天我们要讨论的很多内容都与实际发生的事情有关，当你考虑采集一组样本，然后试着猜测它们之间的内容是什么。 因此，为了说明这些点中的大部分，我们将使用1B信号（如图），你可以把它想象成音频， 所以这是一个有趣的音频信号。你看到这个信号了吗？ 这个，所以现在是时间。

它以低频率开始，越来越高，越来越高，越来越高，越来越高，然后结束（如图）。如果你要播放那种声音，你会听到所谓的唧唧声。 它实际上就是所谓的啁啾，它来自雷达，等等。 它有很多不同频率的功率，所以当你发出唧唧声时，无论你可能击中的东西的频率响应是什么，你都会得到回音。这也是一个能够本地化的好方法，有很多很好的理由来使用所谓的啁啾（Chirp）。但是这里（如下图）有一个具有越来越高频率的啁啾，但这也是一个很好的信号来考虑混淆（Aliasing）。

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——学会编写自己的代码，才能练出真功夫。