如何通俗的解释全微分？

微积分这门学科，从字面上拆开来看，就是“微分”+“积分”。按道理把这个两个概念作为学科的名字，很显然是非常重要，但是我觉得很奇怪，《高等数学》同济版并不怎么讲“微分”这个概念，而是着重在讲解“微分”的一个性质“导数”，可能教材的目的是为了做题和考试吧。

在我看来，“微分”这个概念恰恰是理解微积分的关键，最好的表达了微积分这门学科的基本思想：“以直代曲，线性逼近”。

1 一元函数中的微分

一元函数中y的微分为：

《高等数学》的书上是这么解释的：

我们换一个视角：

“以直代曲”从字面上看的意思就是说，“直”可以替代“曲”，那么微分在什么时候可以取代曲线呢？

其实例子很多，比如说洛必达法则、泰勒公式、积分基本定理、牛顿迭代法，这些你要仔细去看，都会发现通过“以直代曲”去理解会多么的简单、直观。不过这些我都已经写过相关的回答了，我下面给出另外一个挺有趣的例子：

下面这2张图片，用了多段线段和代替原来的曲线。但注意当你取值为x1时，你不能出现2个y值，所以我刚刚提到了线段，就是说t1的起点出发，然后结束点是t2的起点，这段线段表示t1。以此类推。

当我们无限增加切线的时候，我们就需要用无限的加法，这就是积分（这个符号本身就是源于把英文Sum的首字母拉长）：

这是最基本的不定积分，我们可以把这个式子解读为，把所有的 即微分加起来就得到了曲线。这就是“以直代曲”。

为什么有一个常数C呢？

为什么要“以直代曲”？我觉得答案很显然，因为直线研究起来更简单啊。

关于微分，还可以参考下我之前的回答：为什么要定义微分 ?

2 全微分

之前我回答过一个问题，无法理解高等数学怎么办？我在回答里面就说过学习应该循序渐进，意思就是，应该从已有的知识出发，保持足够小的步伐前进。

让我们把已有的知识称作i，足够小的步伐称为 +1 ，那么：

才是最有效的学习方法。

那么要理解全微分是什么，就让我们从一元微分出发。

我们来看看一元微分给了我们什么启示：

• 微分得是“直”的（这样才能“代曲”），一元是直线，二元只能是平面

• 微分和切线有关，一元微分就是切线，二元的情况要复杂一些

关于二元的切线，我们先要理解一点，在三维曲面上的点有无数条切线：

有了这些信息之后，我们就能很轻松的把一元微分推广到二元微分上去。

二元微分就是所有的切线都存在，并且都在一个平面。如果这样一个平面存在的话，它就是二元的微分，我们也叫它为“切平面”。这个微分可以提供对曲面很好的“线性近似”。

所有切线共面我觉得还挺神奇的，蛮难想象的。下面有个互动操作帮助你认识这个“全微分”，有条件最好在pc上观看，手机好像有点卡：

至于为什么所有的切线都会在切平面上，我会另文作答。

明白二元微分之后，我们就可以继续i+1，下去，把二元微积分推广出来。

3 全微分的条件

全微分于某点存在的充分条件 函数在该点的某邻域内存在所有偏导数且所有偏导数于此点连续
全微分于某点存在的必要条件 该点处所有方向导数存在(还有函数于该点连续等一堆显然的推论)
全微分于某点存在的充要条件 对于二元函数事实上就是其几何意义 用的不多 只是加深理解的作用
还有一个充要关系 即线性微分式dz=M(x,y)dx＋N(x,y)dy是全微分的充要条件为 M对x的偏导数=N对y的偏导数 这个关系似乎也曾被称为全微分条件 现在一般叫倒易关系或者Euler倒易关系

转自：https://www.matongxue.com/madocs/218.html