如何通俗的解释全微分?

微积分这门学科,从字面上拆开来看,就是“微分”+“积分”。按道理把这个两个概念作为学科的名字,很显然是非常重要,但是我觉得很奇怪,《高等数学》同济版并不怎么讲“微分”这个概念,而是着重在讲解“微分”的一个性质“导数”,可能教材的目的是为了做题和考试吧。

在我看来,“微分”这个概念恰恰是理解微积分的关键,最好的表达了微积分这门学科的基本思想:“以直代曲,线性逼近”。

1 一元函数中的微分

一元函数中y的微分为:

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《高等数学》的书上是这么解释的:

如何通俗的解释全微分?_第2张图片

我们换一个视角:

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“以直代曲”从字面上看的意思就是说,“直”可以替代“曲”,那么微分在什么时候可以取代曲线呢?

其实例子很多,比如说洛必达法则、泰勒公式、积分基本定理、牛顿迭代法,这些你要仔细去看,都会发现通过“以直代曲”去理解会多么的简单、直观。不过这些我都已经写过相关的回答了,我下面给出另外一个挺有趣的例子:

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如何通俗的解释全微分?_第7张图片

下面这2张图片,用了多段线段和代替原来的曲线。但注意当你取值为x1时,你不能出现2个y值,所以我刚刚提到了线段,就是说t1的起点出发,然后结束点是t2的起点,这段线段表示t1。以此类推。

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当我们无限增加切线的时候,我们就需要用无限的加法,这就是积分(这个符号本身就是源于把英文Sum的首字母拉长):

这是最基本的不定积分,我们可以把这个式子解读为,把所有的 即微分加起来就得到了曲线。这就是“以直代曲”。

为什么有一个常数C呢?

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为什么要“以直代曲”?我觉得答案很显然,因为直线研究起来更简单啊。

关于微分,还可以参考下我之前的回答:为什么要定义微分 ?

2 全微分

之前我回答过一个问题,无法理解高等数学怎么办?我在回答里面就说过学习应该循序渐进,意思就是,应该从已有的知识出发,保持足够小的步伐前进。

让我们把已有的知识称作i,足够小的步伐称为 +1 ,那么:

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才是最有效的学习方法。

那么要理解全微分是什么,就让我们从一元微分出发。

我们来看看一元微分给了我们什么启示:

  • 微分得是“直”的(这样才能“代曲”),一元是直线,二元只能是平面

  • 微分和切线有关,一元微分就是切线,二元的情况要复杂一些

关于二元的切线,我们先要理解一点,在三维曲面上的点有无数条切线:

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有了这些信息之后,我们就能很轻松的把一元微分推广到二元微分上去。

二元微分就是所有的切线都存在,并且都在一个平面。如果这样一个平面存在的话,它就是二元的微分,我们也叫它为“切平面”。这个微分可以提供对曲面很好的“线性近似”。

所有切线共面我觉得还挺神奇的,蛮难想象的。下面有个互动操作帮助你认识这个“全微分”,有条件最好在pc上观看,手机好像有点卡:

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至于为什么所有的切线都会在切平面上,我会另文作答。

明白二元微分之后,我们就可以继续i+1,下去,把二元微积分推广出来。

3 全微分的条件

全微分于某点存在的充分条件 函数在该点的某邻域内存在所有偏导数且所有偏导数于此点连续
全微分于某点存在的必要条件 该点处所有方向导数存在(还有函数于该点连续等一堆显然的推论)
全微分于某点存在的充要条件 对于二元函数事实上就是其几何意义 用的不多 只是加深理解的作用
还有一个充要关系 即线性微分式dz=M(x,y)dx+N(x,y)dy是全微分的充要条件为 M对x的偏导数=N对y的偏导数 这个关系似乎也曾被称为全微分条件 现在一般叫倒易关系或者Euler倒易关系

转自:https://www.matongxue.com/madocs/218.html

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