机器学习系列5-梯度下降法
Gradient Descent
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Review
前面预测宝可梦cp值的例子里，已经初步介绍了Gradient Descent的用法：
In step 3, we have to solve the following optimization problem:
θ ∗ = arg min θ L ( θ ) \theta^{*}=\arg \underset{\theta}{\min} L(\theta) \quad θ∗=argθminL(θ)
L : loss function
θ : \theta: θ: parameters(上标表示第几组参数，下标表示这组参数中的第几个参数)
假设 θ \theta θ是参数的集合：Suppose that θ \theta θ has two variables { θ 1 , θ 2 } \left\{\theta_{1}, \theta_{2}\right\} {θ1,θ2}
随机选取一组起始的参数：Randomly start at θ 0 = [ θ 1 0 θ 2 0 ] \theta^{0}=\left[\begin{array}{l}{\theta_{1}^{0}} \\ {\theta_{2}^{0}}\end{array}\right] \quad θ0=[θ10θ20]
计算 θ \theta θ处的梯度gradient： ∇ L ( θ ) = [ ∂ L ( θ 1 ) / ∂ θ 1 ∂ L ( θ 2 ) / ∂ θ 2 ] \nabla L(\theta)=\left[\begin{array}{l}{\partial L\left(\theta_{1}\right) / \partial \theta_{1}} \\ {\partial L\left(\theta_{2}\right) / \partial \theta_{2}}\end{array}\right] ∇L(θ)=[∂L(θ1)/∂θ1∂L(θ2)/∂θ2]
[ θ 1 1 θ 2 1 ] = [ θ 1 0 θ 2 0 ] − η [ ∂ L ( θ 1 0 ) / ∂ θ 1 ∂ L ( θ 2 0 ) / ∂ θ 2 ] ⇒ θ 1 = θ 0 − η ∇ L ( θ 0 ) \left[\begin{array}{l}{\theta_{1}^{1}} \\ {\theta_{2}^{1}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{\theta_{1}^{0}} \\ {\theta_{2}^{0}}\end{array}\right]-\eta\left[\begin{array}{l}{\partial L\left(\theta_{1}^{0}\right) / \partial \theta_{1}} \\ {\partial L\left(\theta_{2}^{0}\right) / \partial \theta_{2}}\end{array}\right] \Rightarrow \theta^{1}=\theta^{0}-\eta \nabla L\left(\theta^{0}\right) [θ11θ21]=[θ10θ20]−η[∂L(θ10)/∂θ1∂L(θ20)/∂θ2]⇒θ1=θ0−η∇L(θ0)
[ θ 1 2 θ 2 2 ] = [ θ 1 1 θ 2 1 ] − η [ ∂ L ( θ 1 1 ) / ∂ θ 1 ∂ L ( θ 2 1 ) / ∂ θ 2 ] ⇒ θ 2 = θ 1 − η ∇ L ( θ 1 ) \left[\begin{array}{c}{\theta_{1}^{2}} \\ {\theta_{2}^{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\theta_{1}^{1}} \\ {\theta_{2}^{1}}\end{array}\right]-\eta\left[\begin{array}{c}{\partial L\left(\theta_{1}^{1}\right) / \partial \theta_{1}} \\ {\partial L\left(\theta_{2}^{1}\right) / \partial \theta_{2}}\end{array}\right] \Rightarrow \theta^{2}=\theta^{1}-\eta \nabla L\left(\theta^{1}\right) [θ12θ22]=[θ11θ21]−η[∂L(θ11)/∂θ1∂L(θ21)/∂θ2]⇒θ2=θ1−η∇L(θ1)
下图是将gradient descent在投影到二维坐标系中可视化的样子，图上的每一个点都是 ( θ 1 , θ 2 , l o s s ) (\theta_1,\theta_2,loss) (θ1,θ2,loss)在该平面的投影
红色箭头是指在 ( θ 1 , θ 2 ) (\theta_1,\theta_2) (θ1,θ2)这点的梯度，梯度方向即箭头方向(从低处指向高处)，梯度大小即箭头长度(表示在 θ i \theta^i θi点处最陡的那条切线的导数大小，该方向也是梯度上升最快的方向)
蓝色曲线代表实际情况下参数 θ 1 \theta_1 θ1和 θ 2 \theta_2 θ2的更新过程图，每次更新沿着蓝色箭头方向loss会减小，蓝色箭头方向与红色箭头方向刚好相反，代表着梯度下降的方向
因此，在整个gradient descent的过程中，梯度不一定是递减的(红色箭头的长度可以长短不一)，但是沿着梯度下降的方向，函数值loss一定是递减的，且当gradient=0时，loss下降到了局部最小值，总结：梯度下降法指的是函数值loss随梯度下降的方向减小
初始随机在三维坐标系中选取一个点，这个三维坐标系的三个变量分别为 ( θ 1 , θ 2 , l o s s ) (\theta_1,\theta_2,loss) (θ1,θ2,loss)，我们的目标是找到最小的那个loss也就是三维坐标系中高度最低的那个点，而gradient梯度可以理解为高度上升最快的那个方向，它的反方向就是梯度下降最快的那个方向，于是每次update沿着梯度反方向，update的步长由梯度大小和learning rate共同决定，当某次update完成后，该点的gradient=0，说明到达了局部最小值
下面是关于gradient descent的一点思考：
Learning rate存在的问题
gradient descent过程中，影响结果的一个很关键的因素就是learning rate的大小
- 如果learning rate刚刚好，就可以像下图中红色线段一样顺利地到达到loss的最小值
- 如果learning rate太小的话，像下图中的蓝色线段，虽然最后能够走到local minimal的地方，但是它可能会走得非常慢，以至于你无法接受
- 如果learning rate太大，像下图中的绿色线段，它的步伐太大了，它永远没有办法走到特别低的地方，可能永远在这个“山谷”的口上振荡而无法走下去
- 如果learning rate非常大，就会像下图中的黄色线段，一瞬间就飞出去了，结果会造成update参数以后，loss反而会越来越大(这一点在上次的demo中有体会到，当lr过大的时候，每次更新loss反而会变大)
当参数有很多个的时候(>3)，其实我们很难做到将loss随每个参数的变化可视化出来(因为最多只能可视化出三维的图像，也就只能可视化三维参数)，但是我们可以把update的次数作为唯一的一个参数，将loss随着update的增加而变化的趋势给可视化出来(上图右半部分)
所以做gradient descent一个很重要的事情是，要把不同的learning rate下，loss随update次数的变化曲线给可视化出来，它可以提醒你该如何调整当前的learning rate的大小，直到出现稳定下降的曲线
Adaptive Learning rates
显然这样手动地去调整learning rates很麻烦，因此我们需要有一些自动调整learning rates的方法
最基本、最简单的大原则是：learning rate通常是随着参数的update越来越小的
因为在起始点的时候，通常是离最低点是比较远的，这时候步伐就要跨大一点；而经过几次update以后，会比较靠近目标，这时候就应该减小learning rate，让它能够收敛在最低点的地方
举例：假设到了第t次update，此时 η t = η / t + 1 \eta^t=\eta/ \sqrt{t+1} ηt=η/t+1
这种方法使所有参数以同样的方式同样的learning rate进行update，而最好的状况是每个参数都给他不同的learning rate去update
Adagrad
Divide the learning rate of each parameter by the root mean square(方均根) of its previous derivatives
Adagrad就是将不同参数的learning rate分开考虑的一种算法(adagrad算法update到后面速度会越来越慢，当然这只是adaptive算法中最简单的一种)
这里的w是function中的某个参数，t表示第t次update， g t g^t gt表示Loss对w的偏微分，而 σ t \sigma^t σt是之前所有Loss对w偏微分的方均根(根号下的平方均值)，这个值对每一个参数来说都是不一样的
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \begin{split} …
由于 η t \eta^t ηt和 σ t \sigma^t σt中都有一个 1 1 + t \sqrt{\frac{1}{1+t}} 1+t1的因子，两者相消，即可得到adagrad的最终表达式：
w t + 1 = w t − η ∑ i = 0 t ( g i ) 2 ⋅ g t w^{t+1}=w^t-\frac{\eta}{\sum\limits_{i=0}^t(g^i)^2}\cdot g^t wt+1=wt−i=0∑t(gi)2η⋅gt
Adagrad的contradiction解释
Adagrad的表达式 w t + 1 = w t − η ∑ i = 0 t ( g i ) 2 ⋅ g t w^{t+1}=w^t-\frac{\eta}{\sum\limits_{i=0}^t(g^i)^2}\cdot g^t wt+1=wt−i=0∑t(gi)2η⋅gt里面有一件很矛盾的事情：
我们在做gradient descent的时候，希望的是当梯度值即微分值 g t g^t gt越大的时候(此时斜率越大，还没有接近最低点)更新的步伐要更大一些，但是Adagrad的表达式中，分母表示梯度越大步伐越大，分子却表示梯度越大步伐越小，两者似乎相互矛盾
在一些paper里是这样解释的：Adagrad要考虑的是，这个gradient有多surprise，即反差有多大，假设t=4的时候 g 4 g^4 g4与前面的gradient反差特别大，那么 g t g^t gt与 1 t + 1 ∑ i = 0 t ( g i ) 2 \sqrt{\frac{1}{t+1}\sum\limits_{i=0}^t(g^i)^2} t+11i=0∑t(gi)2之间的大小反差就会比较大，它们的商就会把这一反差效果体现出来
gradient越大，离最低点越远这件事情在有多个参数的情况下是不一定成立的
如下图所示，w1和w2分别是loss function的两个参数，loss的值投影到该平面中以颜色深度表示大小，分别在w2和w1处垂直切一刀(这样就只有另一个参数的gradient会变化)，对应的情况为右边的两条曲线，可以看出，比起a点，c点距离最低点更近，但是它的gradient却越大
再来回顾Adagrad的表达式： w t + 1 = w t − η ∑ i = 0 t ( g i ) 2 ⋅ g t w^{t+1}=w^t-\frac{\eta}{\sum\limits_{i=0}^t(g^i)^2}\cdot g^t wt+1=wt−i=0∑t(gi)2η⋅gt
g t g^t gt就是一次微分，而分母中的 ∑ i = 0 t ( g i ) 2 \sum\limits_{i=0}^t(g^i)^2 i=0∑t(gi)2反映了二次微分的大小，所以Adagrad想要做的事情就是，在不增加任何额外运算的前提下，想办法去估测二次微分的值
Stochastic Gradicent Descent
随机梯度下降的方法可以让训练更快速，传统的gradient descent的思路是看完所有的样本点之后再构建loss function，然后去update参数；而stochastic gradient descent的做法是，看到一个样本点就update一次，因此它的loss function不是所有样本点的error平方和，而是这个随机样本点的error平方
Feature Scaling
概念介绍
特征缩放，当多个特征的分布范围很不一样时，最好将这些不同feature的范围缩放成一样
原理解释
y = b + w 1 x 1 + w 2 x 2 y=b+w_1x_1+w_2x_2 y=b+w1x1+w2x2，假设x1的值都是很小的，比如1,2…；x2的值都是很大的，比如100,200…
此时去画出loss的error surface，如果对w1和w2都做一个同样的变动 Δ w \Delta w Δw，那么w1的变化对y的影响是比较小的，而w2的变化对y的影响是比较大的
左边的error surface表示，w1对y的影响比较小，所以w1对loss是有比较小的偏微分的，因此在w1的方向上图像是比较平滑的；w2对y的影响比较大，所以w2对loss的影响比较大，因此在w2的方向上图像是比较sharp的
如果x1和x2的值，它们的scale是接近的，那么w1和w2对loss就会有差不多的影响力，loss的图像接近于圆形，那这样做对gradient descent有什么好处呢？
对gradient decent的帮助
之前我们做的demo已经表明了，对于这种长椭圆形的error surface，如果不使用Adagrad之类的方法，是很难搞定它的，因为在像w1和w2这样不同的参数方向上，会需要不同的learning rate，用相同的lr很难达到最低点
如果有scale的话，loss在参数w1、w2平面上的投影就是一个正圆形，update参数会比较容易
而且gradient descent的每次update并不都是向着最低点走的，每次update的方向是顺着等高线的方向(梯度gradient下降的方向)，而不是径直走向最低点；但是当经过对input的scale使loss的投影是一个正圆的话，不管在这个区域的哪一个点，它都会向着圆心走。因此feature scaling对参数update的效率是有帮助的
如何做feature scaling
假设有R个example(上标i表示第i个样本点)， x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x r , . . . x R x^1,x^2,x^3,...,x^r,...x^R x1,x2,x3,...,xr,...xR，每一笔example，它里面都有一组feature(下标j表示该样本点的第j个特征)
对每一个demension i，都去算出它的平均值mean= m i m_i mi，以及标准差standard deviation= σ i \sigma_i σi
对第r个example的第i个component，减掉均值，除以标准差，即 x i r = x i r − m i σ i x_i^r=\frac{x_i^r-m_i}{\sigma_i} xir=σixir−mi
说了那么多，实际上就是将每一个参数都归一化成标准正态分布，即 f ( x i ) = 1 2 π e − x i 2 2 f(x_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_i^2}{2}} f(xi)=2π1e−2xi2，其中 x i x_i xi表示第i个参数
Gradient Descent的理论基础
Taylor Series
泰勒表达式： h ( x ) = ∑ k = 0 ∞ h ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k = h ( x 0 ) + h ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + h ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . h(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{h^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)+\frac{h''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+... h(x)=k=0∑∞k!h(k)(x0)(x−x0)k=h(x0)+h′(x0)(x−x0)+2!h′′(x0)(x−x0)2+...
When x is close to x 0 x_0 x0 : h ( x ) ≈ h ( x 0 ) + h ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) h(x)≈h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0) h(x)≈h(x0)+h′(x0)(x−x0)
同理，对于二元函数，when x and y is close to x 0 x_0 x0 and y 0 y_0 y0：
h ( x , y ) ≈ h ( x 0 , y 0 ) + ∂ h ( x 0 , y 0 ) ∂ x ( x − x 0 ) + ∂ h ( x 0 , y 0 ) ∂ y ( y − y 0 ) h(x,y)≈h(x_0,y_0)+\frac{\partial h(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial h(x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0) h(x,y)≈h(x0,y0)+∂x∂h(x0,y0)(x−x0)+∂y∂h(x0,y0)(y−y0)
从泰勒展开式推导出gradient descent
对于loss图像上的某一个点(a,b)，如果我们想要找这个点附近loss最小的点，就可以用泰勒展开的思想
假设用一个red circle限定点的范围，这个圆足够小以满足泰勒展开的精度，那么此时我们的loss function就可以化简为：
L ( θ ) ≈ L ( a , b ) + ∂ L ( a , b ) ∂ θ 1 ( θ 1 − a ) + ∂ L ( a , b ) ∂ θ 2 ( θ 2 − b ) L(\theta)≈L(a,b)+\frac{\partial L(a,b)}{\partial \theta_1}(\theta_1-a)+\frac{\partial L(a,b)}{\partial \theta_2}(\theta_2-b) L(θ)≈L(a,b)+∂θ1∂L(a,b)(θ1−a)+∂θ2∂L(a,b)(θ2−b)
令 s = L ( a , b ) s=L(a,b) s=L(a,b)， u = ∂ L ( a , b ) ∂ θ 1 u=\frac{\partial L(a,b)}{\partial \theta_1} u=∂θ1∂L(a,b)， v = ∂ L ( a , b ) ∂ θ 2 v=\frac{\partial L(a,b)}{\partial \theta_2} v=∂θ2∂L(a,b)
则 L ( θ ) ≈ s + u ⋅ ( θ 1 − a ) + v ⋅ ( θ 2 − b ) L(\theta)≈s+u\cdot (\theta_1-a)+v\cdot (\theta_2-b) L(θ)≈s+u⋅(θ1−a)+v⋅(θ2−b)
假定red circle的半径为d，则有限制条件： ( θ 1 − a ) 2 + ( θ 2 − b ) 2 ≤ d 2 (\theta_1-a)^2+(\theta_2-b)^2≤d^2 (θ1−a)2+(θ2−b)2≤d2
此时去求 L ( θ ) m i n L(\theta)_{min} L(θ)min，这里有个小技巧，把 L ( θ ) L(\theta) L(θ)转化为两个向量的乘积： u ⋅ ( θ 1 − a ) + v ⋅ ( θ 2 − b ) = ( u , v ) ⋅ ( θ 1 − a , θ 2 − b ) = ( u , v ) ⋅ ( Δ θ 1 , Δ θ 2 ) u\cdot (\theta_1-a)+v\cdot (\theta_2-b)=(u,v)\cdot (\theta_1-a,\theta_2-b)=(u,v)\cdot (\Delta \theta_1,\Delta \theta_2) u⋅(θ1−a)+v⋅(θ2−b)=(u,v)⋅(θ1−a,θ2−b)=(u,v)⋅(Δθ1,Δθ2)
观察图形可知，当向量 ( θ 1 − a , θ 2 − b ) (\theta_1-a,\theta_2-b) (θ1−a,θ2−b)与向量 ( u , v ) (u,v) (u,v)反向，且刚好到达red circle的边缘时(用 η \eta η去控制向量的长度)， L ( θ ) L(\theta) L(θ)最小
( θ 1 − a , θ 2 − b ) (\theta_1-a,\theta_2-b) (θ1−a,θ2−b)实际上就是 ( Δ θ 1 , Δ θ 2 ) (\Delta \theta_1,\Delta \theta_2) (Δθ1,Δθ2)，于是 L ( θ ) L(\theta) L(θ)局部最小值对应的参数为中心点减去gradient的加权
[ Δ θ 1 Δ θ 2 ] = − η [ u v ] = > [ θ 1 θ 2 ] = [ a b ] − η [ u v ] = [ a b ] − η [ ∂ L ( a , b ) ∂ θ 1 ∂ L ( a , b ) ∂ θ 2 ] \begin{bmatrix} \Delta \theta_1 \\ \Delta \theta_2 \end{bmatrix}= -\eta \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}=> \begin{bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}-\eta \begin{bmatrix} u\\ v \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}-\eta \begin{bmatrix} \frac{\partial L(a,b)}{\partial \theta_1}\\ \frac{\partial L(a,b)}{\partial \theta_2} \end{bmatrix} [Δθ1Δθ2]=−η[uv]=>[θ1θ2]=[ab]−η[uv]=[ab]−η[∂θ1∂L(a,b)∂θ2∂L(a,b)]
这就是gradient descent在数学上的推导，注意它的重要前提是，给定的那个红色圈圈的范围要足够小，这样泰勒展开给我们的近似才会更精确，而 η \eta η的值是与圆的半径成正比的，因此理论上learning rate要无穷小才能够保证每次gradient descent在update参数之后的loss会越来越小，于是当learning rate没有设置好，泰勒近似不成立，就有可能使gradient descent过程中的loss没有越来越小
当然泰勒展开可以使用二阶、三阶乃至更高阶的展开，但这样会使得运算量大大增加，反而降低了运行效率
Gradient Descent的限制
之前已经讨论过，gradient descent有一个问题是它会停在local minima的地方就停止update了
事实上还有一个问题是，微分值是0的地方并不是只有local minima，settle point的微分值也是0
以上都是理论上的探讨，到了实践的时候，其实当gradient的值接近于0的时候，我们就已经把它停下来了，但是微分值很小，不见得就是很接近local minima，也有可能像下图一样在一个高原的地方
综上，gradient descent的限制是，它在gradient即微分值接近于0的地方就会停下来，而这个地方不一定是global minima，它可能是local minima，可能是saddle point鞍点，甚至可能是一个loss很高的plateau平缓高原
