袖珍电子书：一元实函数的极限定义

     大家知道，当x无限地趋近于c，函数值f(x)无限地趋近于L时，则称L是函数f在c的极限（limit），其中c，L是固定的实数。但是，此处的“无限地趋近于”是什么意思呢？什么叫”无限地趋近“？趋近（动作）好理解，无限地趋近（动作）就不好理解了。恐怕其中有一个“逝去量的鬼魂（ghost）”躲在里面。

         扩大实数系R，进入超实数系*R，问题就好办了。在J.Keisler《基础微积分》第三章第三节第117页，有一个极限定义如下：

         DEFINITION：L is the limit of f(x) as x approaches c, if whenever x infinitely close to but not equal to c，f(x) is infinitely close to L，c and L are real numbers。

          In symbols,                   lim f(x) = L      (x→c)

       中文的意思是：

        定义：当x趋近于c，函数f(x)的极限是L，如果当x无限地接近但不等于c时，函数值f(x)无限地接近于L，此处，c与L是实数。

            在无穷小微积分学中，两个超实数相差为无穷小就称两者”无限地接近“，记为”x≈c“，或”f(x)≈L“。也就是说，在无穷小微积分学里面，如果x≈c（但x≠c)，有f（x)≈L，则称L为f(x)在c的极限。

          在传统微积分学里面，当x趋近于c，函数f(x)的极限是L，则需要表示为：∀ε>0∃δ>0∀x[0<│x-c│<δ⇨│f(x)-L│<ε]，简记为”∀∃∀“表述方式。很明显的是，上述”如果x≈c（但x≠c)，有f（x)≈L“的无穷小表述方式远比传统微积分学的”∀∃∀“表述方式简洁、易懂，更加符合人们的直觉思维习惯。

           我们进一步追问：这两种说法”等价“吗？也就是说，两者是否互为”充要条件“？在这里，我们要注意：短语”如果x≈c（但x≠c)，有f（x)≈L“应该理解为“如果x≈c（但x≠c)，有*f（x)≈L“，其中超实函数*f是函数f的自然延伸函数。但是，按照我们的约定，在这种情况下，往往习惯上略去”*“星号罢了。

            言归正传。关于函数极限的定义，无穷小方式与传统的（ε，δ）方式效果一样吗？两者是否完全等价？这是一个非常关键的问题。实际上，两者互为”充要条件“，是一条数学定理，完全可以严格证明。在J.Keisler的《无穷小微积分基础》教学辅导书的第三章第一节第43页给出了一个数学证明。在此省略，不便细说。

          说明：在不久的将来，大批无穷小微积分袖珍电子书在互联网大课堂上流行起来之后，学生们一定会好奇地询问他们的老师为什么会有这样的差别。老师只能含糊其辞，敷衍过去了事。乌呼！今后，我准备常常写无穷小袖珍电子书，希望大家喜欢它。