CodeForces 438 E.The Child and Binary Tree（生成函数+FFT）
Description
称一个带点权有根二叉树是好的当且仅当每个节点的权值均属于集合 {c1,c2,...,cn} ，令整棵树的权值为所有点的点权之和，给出一整数 m ，对每个 s≤m ，求出权值为 s 的好二叉树个数
Input
第一行输入两个整数 n,m ，之后输入 n 个正整数 ci(1≤n,m≤105,1≤ci≤105)
Output
输出 m 个整数，分别表示权为 1,2,...,m 的好二叉树个数，结果模 998244353=7⋅17⋅223+1
Sample Input
2 3
1 2
Sample Output
1
3
9
Solution
设每个点权值的生成函数 A(x) ，设树的生成函数为 F(x)
考虑有儿子节点和无儿子节点有方程 F(x)=A(x)F2(x)+1 ，解此二次方程得 F(x)=1±1−4A(x)√2A(x)
注意到 1−4A(x) 开根常数项为 1 ，而 A(x) 中没有常数项，故只有将常数项消掉才可以做除法
即解为 F(x)=1−1−4A(x)√2A(x) ，做多项式开根和逆元即可
Code
#includefor(int i=0;ipos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<*x,int len,int sta)
{
for(int i=0;iif(i<pos[i])swap(x[i],x[pos[i]]);
w[0]=(cp){1,0};
for(unsigned i=2;i<=len;i<<=1)
{
cp g=(cp){cos(2*pi/i),sin(2*pi/i)*sta};
for(int j=i>>1;j>=0;j-=2)w[j]=w[j>>1];
for(int j=1;j>1;j+=2)w[j]=w[j-1]*g;
for(int j=0;j*a=x+j,*b=a+(i>>1);
for(int l=0;l>1;l++)
{
cp o=b[l]*w[l];
b[l]=a[l]-o;
a[l]=a[l]+o;
}
}
}
if(sta==-1)for(int i=0;ix[i].a/=len,x[i].b/=len;
}
cp x[maxfft],y[maxfft],z[maxfft];
int temp[maxfft];
void FFT(int *a,int *b,int n,int m,int *c)
{
if(n<=100&&m<=100||min(n,m)<=5)
{
for(int i=0;im-1;i++)temp[i]=0;
for(int i=0;ifor(int j=0;j<m;j++)
{
temp[i+j]+=(ll)a[i]*b[j]%mod;
if(temp[i+j]>=mod)temp[i+j]-=mod;
}
for(int i=0;im-1;i++)c[i]=temp[i];
return ;
}
int len=1;
while(lenm)len<<=1;
fft_init(len);
for(int i=0;iint aa=i0,bb=i<m?b[i]:0;
x[i]=(cp){(aa>>15),(aa&32767)},y[i]=(cp){(bb>>15),(bb&32767)};
}
fft(x,len,1),fft(y,len,1);
for(int i=0;iint j=len-1&len-i;
z[i]=((x[i]+!x[j])*(y[i]-!y[j])+(x[i]-!x[j])*(y[i]+!y[j]))*(cp){0,-0.25};
}
fft(z,len,-1);
for(int i=0;im-1;i++)
{
ll ta=(ll)(z[i].a+0.5)%mod;
ta=(ta<<15)%mod;
c[i]=ta;
}
for(int i=0;iint j=len-1&len-i;
z[i]=(x[i]-!x[j])*(y[i]-!y[j])*(cp){-0.25,0}+(x[i]+!x[j])*(y[i]+!y[j])*(cp){0,0.25};
}
fft(z,len,-1);
for(int i=0;im-1;i++)
{
ll ta=(ll)(z[i].a+0.5)%mod,tb=(ll)(z[i].b+0.5)%mod;
ta=(ta+(tb<<30))%mod;
c[i]=(c[i]+ta)%mod;
}
}
int inv[maxn];
void init(int n=100001)
{
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mod-(ll)(mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
int temp1[maxfft],temp2[maxfft],temp3[maxfft],temp4[maxfft];
void Poly_Inv(int *poly,int n,int *ans)
{
ans[0]=inv[poly[0]];
for(int i=2;i<=n;i<<=1)
{
FFT(poly,ans,i,i/2,temp1);
FFT(ans,temp1+i/2,i/2,i/2,temp1);
for(int j=0;j2;j++)ans[j+i/2]=temp1[j]==0?0:mod-temp1[j];
}
}
void Poly_Log(int *poly,int n,int *ans)
{
Poly_Inv(poly,n,temp2);
for(int i=0;i1;i++)ans[i]=(ll)poly[i+1]*(i+1)%mod;
FFT(ans,temp2,n-1,n,ans);
for(int i=n-1;i>0;i--)ans[i]=(ll)ans[i-1]*inv[i]%mod;
ans[0]=0;
}
void Poly_Exp(int *poly,int n,int *ans)
{
if(n==1)
{
ans[0]=1;
return ;
}
Poly_Exp(poly,n/2,ans);
Poly_Log(ans,n,temp3);
for(int i=0;iif(temp3[i]<0)temp3[i]+=mod;
}
temp3[0]++;
if(temp3[0]==mod)temp3[0]=0;
FFT(ans,temp3,n,n,ans);
for(int i=n;i<2*n;i++)ans[i]=0;
}
void Poly_Root(int *poly,int n,int *ans)
{
ans[0]=1;
for(int i=2;i<=n;i<<=1)
{
Poly_Inv(ans,i,temp4);
FFT(ans,ans,i/2,i/2,ans);
for(int j=0;j*inv[2]%mod;
FFT(ans,temp4,i,i,ans);
for(int j=i;j<2*i;j++)ans[j]=0;
}
}
int n,m,A[maxfft],B[maxfft];
int main()
{
init();
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
memset(A,0,sizeof(A));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int temp;
scanf("%d",&temp);
A[temp]=mod-4;
}
int len=1;
while(len<m+1)len<<=1;
A[0]=1;
Poly_Root(A,len,B);
for(int i=1;i<=m;i++)B[i]=(ll)B[i]*inv[2]%mod;
Poly_Inv(B,len,A);
for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",A[i]);
}
return 0;
}