【组合数学 && 容斥原理】 Devu and Flowers

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题目描述：

Devu想用花去装饰他的花园，他已经购买了n个箱子，第i个箱子有fi朵花，在同一个的箱子里的所有花是同种颜色的（所以它们没有任何其他特征）。另外，不存在两个箱子中的花是相同颜色的。 现在Devu想从这些箱子里选择s朵花去装饰他的花园，Devu想要知道，总共有多少种方式从这些箱子里取出这么多的花？因为结果有可能会很大，结果需要对1000000007取模。 Devu认为至少有一个箱子中选择的花的数量不同才是两种不同的方案。

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Solution

首先这是一道多重集的题目。

形如 $S=\{n_1\ast a_1,n_2\ast a_2\dots \dots ,n_k\ast a_k\}$的集合被称为多重集
首先我们需要解决在这个集合中选出r个数的问题。

• 这个问题利用插板法可以很容易的解决，答案即为：$$C_{k-r+1}^{k-1}$$

那么这是所有组合的方案，对于这道题我们需要将不合法的方案去掉。
对于第i个物品而言它的个数是受限制的，想让组合不合法，当且仅当第i个数选出了$\ge n_i+1$个物品。

第一个物品不合法的方案：

• 利用插板法可以得到不合法的方案为$C_{k-r-n_1-2}$

这其实就是一个容斥原理，将集合大小为1的集合减去再讲集合大小为2的集合加上在减去集合大小为3的集合……以此类推。

这样就可以得到以下公式：

然后由于这道题n的范围如此之小，这就给了我们状压的冲动。
将集合看为二进制，1作为选当前盒子，0视为不选。

需要注意的是，计算组合是，最好变形成排列在算组合，由于模数是质数，所以预处理出逆元即可。

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Code

#include
using namespace std;
#define int long long
const int p = 1e9+7;
int n,m;
int Ans;
int inv[1010100];
int f[1010100];

int power(int x,int y){
	int ans = 1;
	while (y){
		if (y & 1) ans = (ans*x)%p;
		y>>=1;
		x = (x*x)%p;
//		cout<<1<
	}
	return ans;
}

int C(int x,int y){
	if (x<0 || y<0 || x<y) return 0;
	x%=p;
	if (!y || !x) return 1;
	int anss  = 1;
	for (int i=0;i<y;i++)
	  anss = (anss*(x-i))%p;
	for (int i=1;i<=y;i++)
	  anss = (anss*inv[i])%p;
	return anss;
}

signed main(){
	scanf("%lld %lld",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&f[i]);
	for (int i=1;i<=21;i++)
	  inv[i] = power(i,p-2);//预处理逆元 
	Ans = C(n+m-1,n-1);//组合总数 
	for (int i=1;i<1<<n;i++){
		int t = n+m,P=0;
		for (int j=0;j<n;j++)
		  if (i&(1<<j)) t-=f[j+1],P++;//枚举每一位，看一下1的位数，处理处上面的Σ的东西
		t-=P+1;
		if (P%2) Ans = (Ans-C(t,n-1)+p)%p;
		else Ans = (Ans+C(t,n-1))%p;//容斥原理 
	}
	printf("%lld",(Ans+p)%p);
}